2. Вычислите: a) log_sqrt(2) (sqrt(32)); г) log_10(5) + log_10(2); б) 3^(4*log_3(2)); д) log_3(19) - log_3(57); в) log_3(log_4(64))

Решение:

1. а) \( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{32} \)
   Перепишем основание и аргумент логарифма в виде степеней двойки:
   \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \) и \( \sqrt{32} = 32^{\frac{1}{2}} = (2^5)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \)
   По свойству логарифма \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \):
   \[ \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = \frac{5}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 5 \]
2. б) \( 3^{4 \log_3 2} \)
   Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \) и основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \):
   \[ 3^{4 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^4} = 3^{\log_3 16} = 16 \]
3. в) \( \log_3 (\log_4 64) \)
   Сначала вычислим внутренний логарифм:
   \( \log_4 64 = 3 \), так как \( 4^3 = 64 \).
   Теперь подставим это значение во внешний логарифм:
   \[ \log_3 3 = 1 \]
4. г) \( \log_{10} 5 + \log_{10} 2 \)
   Используем свойство логарифмов \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \):
   \[ \log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 10 = 1 \]
5. д) \( \log_3 19 - \log_3 57 \)
   Используем свойство логарифмов \( \log_a x - \log_a y = \log_a \left( \frac{x}{y} \right) \):
   \[ \log_3 \left( \frac{19}{57} \right) = \log_3 \left( \frac{1}{3} \right) = \log_3 3^{-1} = -1 \]

Ответ: а) 5; б) 16; в) 1; г) 1; д) -1.