2. Вычислите: a) log√ √32; б) 34log3 2; в) log3 log4 64 r) log 1 5 + log 1 2; 10 10 д) log3 19 - log3 57

2. Вычисление логарифмов:

1. \( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{32} \)

   Преобразуем корень из 32: \( \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}} \).

   Тогда \( \log_{\sqrt{2}} 2^{\frac{5}{2}} \). Пусть \( \log_{\sqrt{2}} 2^{\frac{5}{2}} = x \). По определению логарифма: \( (\sqrt{2})^x = 2^{\frac{5}{2}} \).

   \( (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{5}{2}} \) → \( 2^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \). Следовательно, \( \frac{x}{2} = \frac{5}{2} \) → \( x = 5 \).

2. \( 3^{4 \log_{3} 2} \)

   Используем свойство логарифма: \( a^{ \log_{a} b } = b \). Сначала преобразуем показатель степени: \( 4 \log_{3} 2 = \log_{3} 2^4 = \log_{3} 16 \).

   Тогда имеем: \( 3^{ \log_{3} 16 } = 16 \).

3. \( \log_{3} (\log_{4} 64) \)

   Сначала вычислим внутренний логарифм: \( \log_{4} 64 \). Поскольку \( 4^3 = 64 \), то \( \log_{4} 64 = 3 \).

   Теперь вычисляем внешний логарифм: \( \log_{3} 3 \). По определению логарифма, \( \log_{a} a = 1 \).

   Следовательно, \( \log_{3} 3 = 1 \).

4. \( \log_{\frac{1}{10}} 5 + \log_{\frac{1}{10}} 2 \)

   Используем свойство логарифма: \( \log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \cdot y) \).

   \( \log_{\frac{1}{10}} (5 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{10}} 10 \).

   Поскольку \( (\frac{1}{10})^{-1} = 10 \), то \( \log_{\frac{1}{10}} 10 = -1 \).

5. \( \log_{3} 19 - \log_{3} 57 \)

   Используем свойство логарифма: \( \log_{b} x - \log_{b} y = \log_{b} (\frac{x}{y}) \).

   \( \log_{3} (\frac{19}{57}) \).

   Сокращаем дробь: \( \frac{19}{57} = \frac{19}{3 \cdot 19} = \frac{1}{3} \).

   Тогда имеем: \( \log_{3} \frac{1}{3} \). Поскольку \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \), то \( \log_{3} \frac{1}{3} = -1 \).

Ответ: 5; 16; 1; -1; -1.