2. Внутри леса проложена прямая экотропа, разделенная на станции. Один турист начал движение от станции «Ручей» со скоростью 4 км/ч, а другой турист начал движение от станции «Болото» со скоростью 6 км/ч, причем сделали они это одновременно. Какое расстояние будет между туристами через полчаса, если станция «Ручей» и «Болото» находятся на расстоянии 10 км? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Дано:

• Скорость туриста 1 (от станции «Ручей»): $$v_1 = 4$$ км/ч
• Скорость туриста 2 (от станции «Болото»): $$v_2 = 6$$ км/ч
• Время движения: $$t = 0.5$$ ч (полчаса)
• Расстояние между станциями: $$S_{станций} = 10$$ км

Найти: Расстояние между туристами через 0.5 ч.

Ход решения:

Туристы движутся одновременно, но в разном направлении (предполагаем, что они движутся друг от друга, так как иначе расстояние между ними будет либо уменьшаться, либо увеличиваться по-другому).

Вариант 1: Туристы движутся в противоположных направлениях, от станций друг от друга.

1. Найдем расстояние, которое прошел первый турист за полчаса:
$$ S_1 = v_1 \times t = 4 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 2 \text{ км} $$
2. Найдем расстояние, которое прошел второй турист за полчаса:
$$ S_2 = v_2 \times t = 6 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 3 \text{ км} $$
3. Общее расстояние между туристами будет суммой начального расстояния между станциями и расстояний, пройденных каждым туристом:
$$ S_{общ} = S_{станций} + S_1 + S_2 = 10 \text{ км} + 2 \text{ км} + 3 \text{ км} = 15 \text{ км} $$

Вариант 2: Туристы движутся в одном направлении, от «Ручья» к «Болоту» (или наоборот), и турист «Болото» обгоняет туриста «Ручей».

1. Пусть турист «Ручей» стартует из точки 0, а турист «Болото» из точки 10 км.
2. Положение туриста «Ручей» через 0.5 ч: $$P_1 = 0 + v_1 \times t = 4 \times 0.5 = 2$$ км.
3. Положение туриста «Болото» через 0.5 ч: $$P_2 = 10 + v_2 \times t = 10 + 6 \times 0.5 = 10 + 3 = 13$$ км.
4. Расстояние между туристами: $$S = |P_2 - P_1| = |13 - 2| = 11$$ км.

Вариант 3: Туристы движутся в одном направлении, от «Ручья» к «Болоту» (или наоборот), и турист «Ручей» обгоняет туриста «Болото».

1. Пусть турист «Болото» стартует из точки 0, а турист «Ручей» из точки 10 км.
2. Положение туриста «Болото» через 0.5 ч: $$P_1 = 0 + v_2 \times t = 6 \times 0.5 = 3$$ км.
3. Положение туриста «Ручей» через 0.5 ч: $$P_2 = 10 + v_1 \times t = 10 + 4 \times 0.5 = 10 + 2 = 12$$ км.
4. Расстояние между туристами: $$S = |P_2 - P_1| = |12 - 3| = 9$$ км.

Вариант 4: Туристы движутся навстречу друг другу.

1. Пусть турист «Ручей» стартует из точки 0, а турист «Болото» из точки 10 км и движется навстречу.
2. Положение туриста «Ручей» через 0.5 ч: $$P_1 = v_1 \times t = 4 \times 0.5 = 2$$ км.
3. Положение туриста «Болото» через 0.5 ч: $$P_2 = 10 - v_2 \times t = 10 - 6 \times 0.5 = 10 - 3 = 7$$ км.
4. Расстояние между туристами: $$S = |P_2 - P_1| = |7 - 2| = 5$$ км.

Вариант 5: Туристы движутся навстречу друг другу, но с разных сторон.

1. Пусть турист «Болото» стартует из точки 0, а турист «Ручей» из точки 10 км и движется навстречу.
2. Положение туриста «Болото» через 0.5 ч: $$P_1 = v_2 \times t = 6 \times 0.5 = 3$$ км.
3. Положение туриста «Ручей» через 0.5 ч: $$P_2 = 10 - v_1 \times t = 10 - 4 \times 0.5 = 10 - 2 = 8$$ км.
4. Расстояние между туристами: $$S = |P_2 - P_1| = |8 - 3| = 5$$ км.

Ответ: Возможные расстояния между туристами через полчаса: 5 км, 9 км, 11 км, 15 км.

}, {