2 вариант. 1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (ад), если а₁=10 и а₂=6. 2. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bn), если b₁=-64, а знаменатель q=1/2. 3. Найдите номер члена арифметической прогрессии (ад), равного 10,9, если а₁=8,5, а разность прогрессии d=0.3. 4. Какие два числа надо вставить между числами 2 и 54, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? 5. При каком значении х значения выражений х+1, х+5 и 2х+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. 6. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180. 7*. Найдите сумму двадцати первый член арифметической прогрессии (ад), если а₈ + а₁₂ - а₁₅ = 3 и а₇ + а₁₃ = 21.

Решение:

1. 2.1. Арифметическая прогрессия:
   • Разность прогрессии d = a₂ - a₁ = 6 - 10 = -4.
   • Шестнадцатый член прогрессии: a₁₆ = a₁ + (16 - 1)d = 10 + 15 ⋅ (-4) = 10 - 60 = -50.
   • Сумма тридцати первых членов: S₃₀ = (2a₁ + (30 - 1)d) / 2 ⋅ 30 = (2 ⋅ 10 + 29 ⋅ (-4)) / 2 ⋅ 30 = (20 - 116) / 2 ⋅ 30 = -96 / 2 ⋅ 30 = -48 ⋅ 30 = -1440.
2. 2.2. Геометрическая прогрессия:
   • Шестой член прогрессии: b₆ = b₁ ⋅ q⁵ = -64 ⋅ (1/2)⁵ = -64 ⋅ (1/32) = -64/32 = -2.
3. 2.3. Арифметическая прогрессия:
   • Номер члена: a<0xE2><0x82><0x99> = a₁ + (n - 1)d.
   • 10.9 = 8.5 + (n - 1)(0.3)
   • 10.9 - 8.5 = (n - 1)(0.3)
   • 2.4 = (n - 1)(0.3)
   • 2.4 / 0.3 = n - 1
   • 8 = n - 1
   • n = 9.
4. 2.4. Геометрическая прогрессия:
   • Пусть искомые числа x и y. Тогда 2, x, y, 54 образуют геометрическую прогрессию.
   • x / 2 = y / x = 54 / y.
   • Из x / 2 = 54 / y следует xy = 2 ⋅ 54 = 108.
   • Из y / x = 54 / y следует y² = 54x.
   • Из x / 2 = y / x следует x² = 2y.
   • Подставим y = 108/x в y² = 54x: (108/x)² = 54x => 11664/x² = 54x => 11664 = 54x³ => x³ = 11664/54 = 216 => x = 6.
   • Тогда y = 108/x = 108/6 = 18.
   • Проверка: 2, 6, 18, 54. Отношение 6/2=3, 18/6=3, 54/18=3.
5. 2.5. Геометрическая прогрессия:
   • (x+1), (x+5), (2x+4) — члены геометрической прогрессии.
   • (x+5)² = (x+1)(2x+4)
   • x² + 10x + 25 = 2x² + 4x + 2x + 4
   • x² + 10x + 25 = 2x² + 6x + 4
   • x² - 4x - 21 = 0
   • (x-7)(x+3) = 0
   • x = 7 или x = -3.
   • Если x = 7: 7+1 = 8, 7+5 = 12, 2(7)+4 = 18. Прогрессия: 8, 12, 18. Знаменатель q = 12/8 = 3/2. 18/12 = 3/2.
   • Если x = -3: -3+1 = -2, -3+5 = 2, 2(-3)+4 = -2. Прогрессия: -2, 2, -2. Знаменатель q = 2/(-2) = -1. -2/2 = -1.
6. 2.6. Сумма натуральных чисел:
   • Ищем сумму чисел, кратных 8, от 51 до 179.
   • Первое число: 56 (8 ⋅ 7).
   • Последнее число: 176 (8 ⋅ 22).
   • Количество членов: 22 - 7 + 1 = 16.
   • Сумма: S = (56 + 176) / 2 ⋅ 16 = 232 / 2 ⋅ 16 = 116 ⋅ 16 = 1856.
7. 2.7. Арифметическая прогрессия:
   • a₈ + a₁₂ - a₁₅ = 3 => (a₁ + 7d) + (a₁ + 11d) - (a₁ + 14d) = 3 => a₁ + 4d = 3.
   • a₇ + a₁₃ = 21 => (a₁ + 6d) + (a₁ + 12d) = 21 => 2a₁ + 18d = 21 => a₁ + 9d = 10.5.
   • Вычтем первое уравнение из второго: (a₁ + 9d) - (a₁ + 4d) = 10.5 - 3 => 5d = 7.5 => d = 1.5.
   • a₁ = 3 - 4d = 3 - 4(1.5) = 3 - 6 = -3.
   • Сумма двадцати первых членов: S₂₁ = (2a₁ + (21 - 1)d) / 2 ⋅ 21 = (2(-3) + 20 ⋅ 1.5) / 2 ⋅ 21 = (-6 + 30) / 2 ⋅ 21 = 24 / 2 ⋅ 21 = 12 ⋅ 21 = 252.

Ответ: 2.1. a₁₆=-50, S₃₀=-1440. 2.2. b₆=-2. 2.3. n=9. 2.4. 6 и 18. 2.5. x=7: 8, 12, 18; x=-3: -2, 2, -2. 2.6. 1856. 2.7. S₂₁=252.