2. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем ∠CMD острый. Докажите, что DE > ДМ.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник CDM. У нас есть угол ∠CMD, который по условию является острым.
2. Шаг 2: Рассмотрим угол ∠CMD и смежный с ним угол ∠CMD'. Угол ∠CMD' является тупым (или развернутым, если M=E или M=C, но это не случаи острого ∠CMD), так как ∠CMD острый (∠CMD < 90°).
3. Шаг 3: Теперь рассмотрим треугольник CDE. Точка M лежит на стороне CE.
4. Шаг 4: Применим теорему о соотношении сторон и углов в треугольнике. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
5. Шаг 5: В треугольнике CDM, сторона CD противолежит углу ∠CMD. Сторона CM противолежит углу ∠CDM. Сторона DM противолежит углу ∠DCM.
6. Шаг 6: Рассмотрим треугольник CDE. Сторона DE противолежит углу ∠DCE (он же ∠DCM). Сторона CE противолежит углу ∠CDE (он же ∠C). Сторона CD противолежит углу ∠CED (он же ∠E).
7. Шаг 7: Нам нужно доказать, что DE > DM. Это означает, что угол, противолежащий стороне DE, должен быть больше угла, противолежащего стороне DM. Угол, противолежащий DE, это ∠DCE (или ∠DCM). Угол, противолежащий DM, это ∠DCM.
8. Шаг 8: Рассмотрим угол ∠CMD. Он острый. Его смежный угол ∠CMD' (где D' - точка, продолжающая CE за M, или просто точка, образующая смежный угол с M) является тупым.
9. Шаг 9: Рассмотрим треугольник CDM. Угол ∠CMD острый.
10. Шаг 10: В треугольнике CDE, угол ∠CDE является частью угла ∠CDM (или совпадает с ним). Угол ∠CED является углом треугольника.
11. Шаг 11: Из условия, что ∠CMD острый, следует, что угол ∠CMD < 90°.
12. Шаг 12: Предположим, что DE ≤ DM. Тогда в треугольнике CDE, угол ∠DCE ≤ ∠CED. Это не помогает напрямую.
13. Шаг 13: Переформулируем: нам нужно доказать, что в треугольнике CDE, угол ∠CED (или ∠E) > угол ∠CDE (или ∠D). Это неверно.
14. Шаг 14: Вернемся к треугольнику CDM. Угол ∠CMD острый.
15. Шаг 15: Рассмотрим внешний угол треугольника CDM. Если бы мы продлили CM, то внешний угол при вершине M был бы равен сумме двух других углов, но это не помогает.
16. Шаг 16: Ключ к решению — сравнение углов. В треугольнике CDE, угол ∠CED (он же ∠E) противолежит стороне CD. Угол ∠CDE (он же ∠D) противолежит стороне CE.
17. Шаг 17: Рассмотрим треугольник CDM. Угол ∠CMD острый. Это значит, что угол, смежный с ним (например, угол, образованный продолжением CM и CD), тупой.
18. Шаг 18: Рассмотрим треугольник CDE. Угол ∠CED — это угол E. Угол ∠CDE — это угол D.
19. Шаг 19: В треугольнике CDM, угол ∠CMD острый. Значит, на стороне CE, точка M.
20. Шаг 20: Рассмотрим треугольник CDE. Пусть ∠CMD = α (где α < 90°). Тогда смежный угол ∠DME = 180° - α (тупой).
21. Шаг 21: В треугольнике DME, угол ∠DME тупой. Против тупого угла лежит наибольшая сторона. Значит, DE > DM.
22. Шаг 22: Обоснование: В треугольнике DME, угол ∠DME является внешним углом для треугольника CDM (если продлить CE за M). Нет, это не внешний угол.
23. Шаг 23: Правильное рассуждение: Угол ∠CMD острый. Угол ∠DME является смежным с ∠CMD, следовательно, ∠DME = 180° - ∠CMD. Так как ∠CMD < 90°, то ∠DME > 90°, то есть ∠DME тупой.
24. Шаг 24: Теперь рассмотрим треугольник DME. Сторона DE противолежит тупому углу ∠DME. Сторона DM противолежит углу ∠DEM.
25. Шаг 25: В треугольнике, против большего угла лежит большая сторона. Так как ∠DME тупой (больше 90°), а ∠DEM является углом треугольника (и, следовательно, меньше 180°, и, как правило, острый или прямой в данном контексте), то сторона DE, противолежащая тупому углу ∠DME, будет больше стороны DM, противолежащей углу ∠DEM.
26. Шаг 26: Следовательно, DE > DM.

Ответ: Доказано.