2. В треугольнике \(CDE\) точка \(K\) лежит на стороне \(CE\), причём угол \(CKD\) острый. Докажите, что \(DE > DK\).

Доказательство:

Рассмотрим треугольник \(CKD\). Угол \(CKD\) является углом этого треугольника. По условию, \(\angle CKD\) — острый угол.

Угол \(DKC\) и угол \(DKЕ\) являются смежными, так как \(K\) лежит на стороне \(CE\) треугольника \(CDE\).

Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle DKE = 180^\circ - \angle CKD\).

Поскольку \(\angle CKD\) — острый (т.е. \(\angle CKD < 90^\circ\)), то \(\angle DKE\) — тупой (т.е. \(\angle DKE > 90^\circ\)).

Теперь рассмотрим треугольник \(DKE\). Угол \(DKE\) является тупым углом в этом треугольнике.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

В треугольнике \(DKE\):

• Угол \(DKE\) — тупой (больше \(90^\circ\)).
• Угол \(KED\) — угол треугольника \(CDE\) (или его часть).
• Угол \(KDE\) — угол треугольника \(CDE\) (или его часть).

Так как \(\angle DKE\) является тупым углом, он является наибольшим углом в треугольнике \(DKE\) (поскольку сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), и если один угол больше \(90^\circ\), то два других вместе меньше \(90^\circ\), значит, они оба меньше тупого угла).

Следовательно, сторона, лежащая против наибольшего угла \(\angle DKE\), будет наибольшей стороной в треугольнике \(DKE\). Это сторона \(DE\).

Таким образом, \(DE > DK\) и \(DE > KE\).

Что и требовалось доказать.