2°. В треугольнике АВС проведены медиана АК, биссектриса ВN и высота СН. Укажите номера верных утверждений: 1) ВК = СК. 2) AH = BH. 3) ∠ABN = ∠CBN. 4) ∠BAK = ∠CAK. 5) ∠AKB = 90°. 6) ∠CHB = 90°.

Решение:

Рассмотрим свойства медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике.

• 1) ВК = СК. Это утверждение верно, если АК — медиана, проведенная к стороне ВС. Медиана делит сторону пополам.
• 2) AH = BH. Это утверждение не всегда верно. AH и BH — отрезки, на которые высота CH делит сторону AB. Они равны только в частных случаях (например, если треугольник равнобедренный с основанием AB и CH - высота).
• 3) ∠ABN = ∠CBN. Это утверждение верно, если BN — биссектриса угла ABC. Биссектриса делит угол пополам.
• 4) ∠BAK = ∠CAK. Это утверждение верно, если AK — биссектриса угла BAC. Но по условию AK — медиана. Медиана не всегда является биссектрисой.
• 5) ∠AKB = 90°. Это утверждение не всегда верно. AK — медиана. Она может быть высотой (т.е. ∠AKB = 90°), только если треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, но это не указано в условии.
• 6) ∠CHB = 90°. Это утверждение верно, так как CH — высота, а высота по определению перпендикулярна стороне (или ее продолжению), образуя прямой угол.

Ответ: 1, 3, 6.