2. В треугольнике ABC угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС.

Решение:

Пусть \( \angle A = \alpha \) и \( \angle B = \beta \).

По условию \( \angle A < \angle B \) в три раза, следовательно:

\( \beta = 3\alpha \) (1)

Внешний угол при вершине A равен \( 180^\circ - \alpha \).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^\circ - \beta \).

По условию внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40°:

\( (180^\circ - \alpha) = (180^\circ - \beta) + 40^\circ \)

\( 180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta + 40^\circ \)

\( -\alpha = -\beta + 40^\circ \)

\( \beta - \alpha = 40^\circ \) (2)

Подставим уравнение (1) в уравнение (2):

\( 3\alpha - \alpha = 40^\circ \)

\( 2\alpha = 40^\circ \)

\( \alpha = 20^\circ \)

Теперь найдём \( \beta \) из уравнения (1):

\( \beta = 3\alpha = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \)

Найдем угол C. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

\( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \)

\( \angle C = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)

Проверка:

Внешний угол при A: \( 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \).

Внешний угол при B: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

\( 160^\circ - 120^\circ = 40^\circ \). Условие выполняется.

Ответ: Углы треугольника ABC равны \( < A = 20^\circ, < B = 60^\circ, < C = 100^\circ \).