2°. В треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BN и высота СК. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

Проверим каждое утверждение:

1. BM = CM. Медиана AM делит сторону BC пополам. Это верно.
2. AN = CN. Биссектриса BN делит угол B, а не сторону AC. Это неверно.
3. ∠BAM = ∠CAM. Это свойство биссектрисы угла A, а не медианы AM. Это неверно.
4. ∠ABN = ∠CBN. Это свойство биссектрисы BN, она делит угол B пополам. Это верно.
5. ∠AKC = 90°. Высота СК перпендикулярна стороне AB. Угол ∠AKC - это угол, образованный высотой СК и стороной AC. Угол, где высота пересекает сторону AB, будет ∠CKB = 90° или ∠CKA = 90°, если точка K лежит на AB. Если K — основание высоты, опущенной из C, то ∠CKA = 90°. Утверждение ∠AKC = 90° подразумевает, что K лежит на AC, что не так. Однако, если K - основание высоты, то ∠CKA=90°. В тексте указано, что СК - высота, значит, она перпендикулярна стороне AB. Следовательно, угол, образованный высотой и стороной, равен 90°. Предполагая, что K лежит на AB, то ∠CKA = 90°.
6. ∠BNC = 90°. BN - биссектриса, а не высота. Угол BNC может быть 90°, только если треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, и BN является биссектрисой, что не следует из условия.

Ответ: 1, 4, 5.