2. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания AB = 10 см, высота PH = 5 см. Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания; площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро.

Решение:

1. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат. Высота PH проведена из вершины P к центру основания H. Боковое ребро — PB.

Угол наклона бокового ребра PB к плоскости основания — это угол между прямой PB и её проекцией на плоскость основания. Проекцией PB на плоскость основания является отрезок HB (так как PH — высота).

Рассмотрим прямоугольный треугольник PHB. Нам известны катеты:

• PH = 5 см (высота пирамиды).
• HB — половина диагонали квадрата ABCD. Диагональ AC = \( AB \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \) см. Следовательно, \( HB = \frac{1}{2} AC = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \) см.

Угол наклона бокового ребра PB к основанию — это угол \( \angle PBH \). В прямоугольном треугольнике PHB:

\( \text{tg}(\angle PBH) = \frac{PH}{HB} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \angle PBH = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26^{\circ} \)

2. Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро.

Сечение, проходящее через высоту PH и боковое ребро PB, является треугольником PHB.

Площадь этого треугольника (прямоугольного) равна:

\( S_{PHB} = \frac{1}{2} \cdot PH \cdot HB = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 5 \sqrt{2} \text{ см} = \frac{25 \sqrt{2}}{2} \text{ см}^2 \)

\( S_{PHB} = 12.5 \sqrt{2} \text{ см}^2 \approx 17.68 \text{ см}^2 \)

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \( \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) (приблизительно \( 35.26^{\circ} \). Площадь сечения, проходящего через высоту и боковое ребро, равна \( \frac{25 \sqrt{2}}{2} \text{ см}^2 \) (приблизительно \( 17.68 \text{ см}^2 \)).