2. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 8√2 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Находим сторону основания:

   Диагональ квадрата (основания пирамиды) равна a√2, где a — сторона квадрата. Нам дана диагональ 8√2 см.

   \[a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\]\[a = 8\) см.
2. Находим апофему пирамиды:

   Двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Пусть M — середина стороны основания BC, а O — центр основания. Тогда OM — это расстояние от центра основания до стороны BC, а SM — апофема.

   В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 8 см. Центр квадрата находится на пересечении диагоналей. Расстояние от центра квадрата до стороны равно половине стороны квадрата.

   \[OM = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM:

   Угол ∠ SMO = 60° (данный двугранный угол).

   \[\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}\]\[\tan(60^{\circ}) = \frac{SO}{4}\]\[\sqrt{3} = \frac{SO}{4}\]\[SO = 4\sqrt{3}\) см (высота пирамиды).
4. Находим апофему SM:

   В прямоугольном треугольнике SOM:

   \[\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}\]\[\cos(60^{\circ}) = \frac{4}{SM}\]\[\frac{1}{2} = \frac{4}{SM}\]\[SM = 8\) см (апофема).
5. Находим площадь боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times SM\]\[P_{осн} = 4 imes a = 4 imes 8 = 32\) см.
6. Площадь боковой поверхности:

   $$S_{бок} = rac{1}{2} imes 32 imes 8 = 128$$ см².

7. Находим площадь основания:

   Площадь основания (квадрата) равна $$a^2$$.

   \[S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64\) см².
8. Находим площадь полной поверхности:

   Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

   \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\]\[S_{полн} = 64 + 128 = 192\) см².

Ответ: 192 см²