2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Доказательство.

Так как KE — биссектриса угла MKP, то \(\angle MKE=\angle EKP\).

В параллелограмме \(MN\parallel KP\), а точка E лежит на MN, поэтому \(ME\parallel KP\). Следовательно, углы, образованные секущей KE с параллельными прямыми, равны:

\(\angle KEM=\angle EKP\).

Значит, \(\angle MKE=\angle KEM\). В треугольнике KME равны углы при вершинах K и E, поэтому равны и противолежащие стороны:

\(KM=ME\).

Следовательно, треугольник KME равнобедренный.

б) Вычисление.

Из пункта а): \(KM=ME=10\) см.

Периметр параллелограмма:

\(P=2(KM+KP)\).

Подставим известные значения:

\(52=2(10+KP)\),

\(26=10+KP\),

\(KP=16\) см.

Ответ: а) \(KM=ME\), поэтому треугольник KME равнобедренный; б) \(KP=16\) см.