2) В одной системе координат постройте графики функций y = 2 - x и y = √x и найдите координаты их точек пересечения.

Решение:

Для решения задачи построим графики двух функций: \( y = 2 - x \) (линейная функция) и \( y = \sqrt{x} \) (функция квадратного корня). Затем найдём точки их пересечения.

1. Построение графика функции \( y = 2 - x \):

Это прямая. Найдём две точки:

• При \( x = 0 \), \( y = 2 - 0 = 2 \). Точка (0, 2).
• При \( x = 2 \), \( y = 2 - 2 = 0 \). Точка (2, 0).

2. Построение графика функции \( y = \sqrt{x} \):

Это часть параболы \( y^2 = x \), лежащая в верхней полуплоскости. Найдём несколько точек:

• При \( x = 0 \), \( y = \sqrt{0} = 0 \). Точка (0, 0).
• При \( x = 1 \), \( y = \sqrt{1} = 1 \). Точка (1, 1).
• При \( x = 4 \), \( y = \sqrt{4} = 2 \). Точка (4, 2).

3. Нахождение точек пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для \( y \):

\[ 2 - x = \sqrt{x} \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, предварительно убедившись, что \( 2 - x \ge 0 \) (т.е. \( x \le 2 \)) и \( x \ge 0 \).

\[ (2 - x)^2 = (\sqrt{x})^2 \]\[ 4 - 4x + x^2 = x \]\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

• Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

Проверим условие \( 0 \le x \le 2 \). Корень \( x_1 = 1 \) подходит. Корень \( x_2 = 4 \) не подходит, так как \( 4 > 2 \) (при \( x=4 \), \( y = 2-4 = -2 \), а \( y = \sqrt{4} = 2 \), что не является решением). Вернёмся к \( y = 2 - x \) для \( x=1 \): \( y = 2 - 1 = 1 \).

Таким образом, точка пересечения одна.

Ответ: Точка пересечения графиков функций имеет координаты (1, 1).