2) Упростите выражения: а) $\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}$; б) $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}$; в) $\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Упростите выражения: а) $\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим разности квадратов и сократим дроби:
$\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}=\frac{(a-x)(a+x)}{(b-4)(b+4)}\cdot\frac{b+4}{a-x}=\frac{a+x}{b-4}$.
Поскольку $\frac{x}{4-b}=-\frac{x}{b-4}$, получаем $\frac{a+x-x}{b-4}=\frac{a}{b-4}$.
Ограничения исходного выражения: $b\ne4$, $b\ne-4$, $a\ne x$.
Разложим разность квадратов во втором слагаемом:
$\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}=\frac{1}{x-y}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{2x+y}=\frac{x+y}{2x+y}$.
Сложим дроби: $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{x+y}{2x+y}=\frac{2x}{2x+y}$.
Ограничения: $2x+y\ne0$, $x-y\ne0$.
Обозначим $D=a^2-a+1$. Первые скобки упрощаются так:
$\frac{2a^2-a}{D}-2=\frac{2a^2-a-2(a^2-a+1)}{D}=\frac{a-2}{D}$.
Во вторых скобках приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{D}=\frac{D-(a-1)(a+1)}{D(a+1)}=\frac{2-a}{D(a+1)}$.
Деление заменяем умножением на обратную дробь: $\frac{a-2}{D}\cdot\frac{D(a+1)}{2-a}=-(a+1)$.
Ограничения: $a\ne-1$, $a\ne2$. При действительных $a$ знаменатель $a^2-a+1$ не равен нулю.

Ответ: а) $\frac{a}{b-4}$; б) $\frac{2x}{2x+y}$; в) $-a-1$.

2) Упростите выражения: а) \(\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}\); б) \(\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}\); в) \(\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)\).