2. Упростите выражение: a) \( \frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^n} \)

2. Упростите выражение:

а) \( \frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^n} \)

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: \( 7^n - 7^{-n} = 7^n - \frac{1}{7^n} = \frac{(7^n)^2 - 1}{7^n} = \frac{7^{2n} - 1}{7^n} \)

Знаменатель: \( 1 - 49^n = 1 - (7^2)^n = 1 - 7^{2n} \)

Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:

\( \frac{\frac{7^{2n} - 1}{7^n}}{1 - 7^{2n}} = \frac{7^{2n} - 1}{7^n \cdot (1 - 7^{2n})} \)

Заметим, что \( 1 - 7^{2n} = -(7^{2n} - 1) \). Подставим это:

\( \frac{7^{2n} - 1}{7^n \cdot -(7^{2n} - 1)} \)

Сократим \( (7^{2n} - 1) \), если \( 7^{2n} - 1 \neq 0 \):

\( -\frac{1}{7^n} = -7^{-n} \)

Ответ: \( -7^{-n} \).