2. Упростите выражение: a) ⁠5ⁿ⁺¹ - 3 ⋅ 5ⁿ 2 ⋅ 5ⁿ⁻¹ б) (0,125x⁻³y⁻²)² ⋅ (x⁻³/8y²)⁻³

2. Упрощение выражений:

а) \( \frac{5^{n+1} - 3 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} \)

1. Вынесем общий множитель \( 5^n \) из числителя: \( 5^n(5^1 - 3) \).
2. Упростим числитель: \( 5^n(5 - 3) = 5^n \cdot 2 \).
3. Представим знаменатель, используя свойство \( a^{m-n} = a^m / a^n \): \( 2 \cdot 5^{n-1} = 2 \cdot \frac{5^n}{5^1} = \frac{2 \cdot 5^n}{5} \).
4. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь: \( \frac{2 \cdot 5^n}{\frac{2 \cdot 5^n}{5}} \).
5. Упростим деление дробей: \( 2 \cdot 5^n \cdot \frac{5}{2 \cdot 5^n} \).
6. Сократим и получим результат: \( 5 \).

б) \( (0,125x^{-3}y^{-2})^2 \cdot \left(\frac{x^{-3}}{8y^2}\right)^{-3} \)

1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: \( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \).
2. Применим свойство \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \) к первому множителю: \( (\frac{1}{8}x^{-3}y^{-2})^2 = (\frac{1}{8})^2 \cdot (x^{-3})^2 \cdot (y^{-2})^2 = \frac{1}{64} x^{-6} y^{-4} \).
3. Применим свойство \( (a/b)^n = a^n/b^n \) и \( a^{-n} = 1/a^n \) ко второму множителю: \( \left(\frac{x^{-3}}{8y^2}\right)^{-3} = \frac{(x^{-3})^{-3}}{(8y^2)^{-3}} = \frac{x^9}{8^{-3}(y^2)^{-3}} = \frac{x^9}{\frac{1}{8^3}y^{-6}} = x^9 \cdot 8^3 y^6 \).
4. \( 8^3 = 512 \). Значит, второй множитель равен \( 512 x^9 y^6 \).
5. Перемножим оба выражения: \( \frac{1}{64} x^{-6} y^{-4} \cdot 512 x^9 y^6 \).
6. Сгруппируем коэффициенты и переменные: \( \frac{512}{64} \cdot x^{-6+9} \cdot y^{-4+6} \).
7. Упростим: \( 8 \cdot x^3 \cdot y^2 = 8x^3y^2 \).

Ответ: а) 5; б) 8x³y².