2). Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

• Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.
• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому x + 2x + 3x = 180°.
• 6x = 180°, x = 30°.
• Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. Треугольник ABC — прямоугольный.
• Биссектриса BM делит угол B (60°) пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = 30°.
• Рассмотрим треугольник BCM. ∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°.
• В треугольнике BCM, ∠MBC = 30° и ∠BMC = 60°.
• По теореме синусов в треугольнике BCM: MC / sin(∠MBC) = BC / sin(∠BMC).
• MC / sin(30°) = BC / sin(60°).
• MC = BC * (sin(30°) / sin(60°)) = BC * (1/2 / (√3/2)) = BC / √3.
• В прямоугольном треугольнике ABC: sin(A) = BC / AB => BC = AB * sin(30°) = AB / 2.
• cos(A) = AC / AB => AC = AB * cos(30°) = AB * √3 / 2.
• tg(A) = BC / AC => BC = AC * tg(30°) = AC / √3.
• sin(B) = AC / AB => AC = AB * sin(60°) = AB * √3 / 2.
• cos(B) = BC / AB => BC = AB * cos(60°) = AB / 2.
• tg(B) = AC / BC => AC = BC * tg(60°) = BC * √3.
• AC = BC * √3.
• MC = BC / √3.
• В треугольнике ABM, ∠AMB = 180° - ∠ABM - ∠A = 180° - 30° - 30° = 120°.
• По теореме синусов в треугольнике ABM: AM / sin(30°) = AB / sin(120°).
• AM = AB * (sin(30°) / sin(120°)) = AB * (1/2 / (√3/2)) = AB / √3.
• AC = AM + MC = AB / √3 + BC / √3 = (AB + BC) / √3.
• Мы знаем, что AC = BC * √3.
• BC * √3 = (AB + BC) / √3
• 3 * BC = AB + BC
• 2 * BC = AB.
• Это соответствует тому, что BC = AB / 2.
• Так как BM = 6, и ∠ABM = 30°, ∠AMB = 120°, ∠A = 30°, то треугольник ABM равнобедренный с AM = BM = 6.
• AC = AM + MC = 6 + MC.
• AC = BC * √3.
• BC = AB / 2.
• AB = BM / sin(30°) = 6 / (1/2) = 12.
• BC = 12 / 2 = 6.
• AC = 6 * √3.
• MC = AC - AM = 6√3 - 6.

Ответ: 6√3 - 6