2. Точки P и E — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор AC через векторы x = AP, y = AE.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Так как \(P\) и \(E\) — середины соответствующих сторон, получаем:

\[\vec x=\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b,\qquad \vec y=\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec a+\vec b.\]

Складывая эти равенства, имеем:

\[\vec x+\vec y=\frac{3}{2}\vec a+\frac{3}{2}\vec b=\frac{3}{2}(\vec a+\vec b).\]

Но \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\). Следовательно,

\[\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec x+\vec y).\]

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec x+\vec y)\).