2. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ, АМ — диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ, АВМ, АСВ.

Решение:

Вся окружность составляет 360°. Обозначим величину дуги АСВ как \( x \) градусов. Тогда величина дуги АМВ равна \( x + 60 \) градусов.

Сумма дуг составляет полную окружность: \( x + (x + 60) = 360 \).

Решаем уравнение: \( 2x + 60 = 360 \) \( → \) \( 2x = 300 \) \( → \) \( x = 150 \) градусов.

Значит, дуга АСВ = 150°, а дуга АМВ = 150° + 60° = 210°.

1. Угол АМВ:

Угол АМВ — это вписанный угол, опирающийся на дугу АСВ. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( ∠ AMB = \frac{1}{2} \text{дуги } ACB = \frac{1}{2} \text{\cdot } 150^\text{°} = 75^\text{°} \).

2. Угол АВМ:

АМ — диаметр окружности. Угол АВМ — вписанный угол, опирающийся на полуокружность (дугу АМ). Величина дуги, соответствующей диаметру, равна 180°.

\( ∠ ABM = \frac{1}{2} \text{дуги } AM = \frac{1}{2} \text{\cdot } 180^\text{°} = 90^\text{°} \).

3. Угол АСВ:

Угол АСВ — это вписанный угол, опирающийся на дугу АМВ.

\( ∠ ACB = \frac{1}{2} \text{дуги } AMB = \frac{1}{2} \text{\cdot } 210^\text{°} = 105^\text{°} \).

Ответ: ∠ AMB = 75°, ∠ ABM = 90°, ∠ ACB = 105°.