№ 2. Точка P — середина стороны AB параллелограмма ABCD. На отрезке DP взяли такую точку S, что BS = AD. Чему равен угол CSP в градусах?

Обозначим через O середину отрезка DP. В треугольнике DAB отрезок PO соединяет середины сторон AB и DP? Нет: из условия известно только, что P — середина AB, поэтому используем векторные координаты.

Положим P в начало координат, а векторы \(\overrightarrow{PA}=\mathbf a\) и \(\overrightarrow{PD}=\mathbf d\). Тогда \(\overrightarrow{PB}=-\mathbf a\), а из свойств параллелограмма \(\overrightarrow{PC}=\mathbf d-2\mathbf a\) (так как \(\overrightarrow{AB}=-2\mathbf a\)). Пусть \(\overrightarrow{PS}=t\mathbf d\), где \(0\le t\le1\), поскольку S лежит на DP.

По условию \(BS=AD\). В квадрате это равенство записывается так:

\(\lvert t\mathbf d+\mathbf a\rvert^2=\lvert\mathbf d-\mathbf a\rvert^2\).

Раскрывая скалярные произведения и сокращая \(\lvert\mathbf a\rvert^2\), получаем \((t^2-1)\lvert\mathbf d\rvert^2+2(t+1)\mathbf a\cdot\mathbf d=0\). Для нетривиального случая отсюда \(2\mathbf a\cdot\mathbf d=(1-t)\lvert\mathbf d\rvert^2\).

Теперь \(\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PS}= (1-t)\mathbf d-2\mathbf a\), а \(\overrightarrow{SP}=-t\mathbf d\). Их скалярное произведение равно \(-t((1-t)\lvert\mathbf d\rvert^2-2\mathbf a\cdot\mathbf d)=0\). Значит, лучи SC и SP перпендикулярны.

Ответ: 90°.