2. Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = x, а BC = AD = y. Возьмём координаты A(0; 0), B(x; 0), C(x; y), D(0; y). Тогда, поскольку M — середина BC, M(x; y/2).

1. Векторы MA = (−x; −y/2) и MD = (−x; y/2). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю: x² − y²/4 = 0. Поскольку длины сторон положительны, y = 2x.
2. Из периметра получаем 2(x + y) = 36, то есть x + y = 18.
3. Подставляем y = 2x: 3x = 18, откуда x = 6 см, y = 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника — 6 см и 12 см.