2. Тип 9 № 10253 На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует раз- личных путей из города А в город И, проходящих через город Ж?

Решение:

Для решения задачи будем использовать метод подсчёта путей, начиная от исходного города.

1. N(A) = 1 (исходная точка).
2. N(Б) = N(A) = 1 (есть только один путь из А в Б).
3. N(Г) = N(A) = 1 (есть только один путь из А в Г).
4. N(В) = N(A) = 1 (есть только один путь из А в В).
5. N(Д) = N(A) + N(Г) = 1 + 1 = 2 (пути из А и из Г).
6. N(Ж) = N(Б) + N(В) + N(Д) = 1 + 1 + 2 = 4 (пути из Б, В, Д).
7. N(И) = N(Ж) + N(З). Нам нужно посчитать пути из А в И, проходящие через Ж. Значит, мы должны сначала посчитать количество путей из А в Ж, а затем из Ж в И.

Подсчитаем пути из А в Ж:

N(A) = 1

N(Б) = 1

N(Г) = 1

N(В) = 1

N(Д) = N(A) + N(Г) = 1 + 1 = 2

N(Ж) = N(Б) + N(В) + N(Д) = 1 + 1 + 2 = 4. Следовательно, существует 4 пути из А в Ж.

Теперь подсчитаем пути из Ж в И:

N(Ж) = 4

N(З) = N(Ж) = 4 (пути из Ж).

N(И) = N(Ж) + N(З). Нам нужно найти количество путей из А в И, проходящих через Ж. Это значит, что все пути должны пройти через Ж. То есть, мы считаем только те пути, которые ведут из Ж в И.

Количество путей из А в Ж = 4.

Пути из Ж в И:

Из Ж есть прямые пути в И и в З.

N(И) = N(Ж) + N(З). Но нам нужен путь, проходящий через Ж, ведущий в И. Это означает, что мы должны посчитать количество путей из А в Ж, а затем из Ж в И.

Количество путей из А в Ж = 4.

Количество путей из Ж в И = 1 (прямой путь Ж → И).

Следовательно, общее количество путей из А в И, проходящих через Ж, равно количеству путей из А в Ж, умноженному на количество прямых путей из Ж в И.

Общее количество путей = N(А → Ж) * N(Ж → И) = 4 * 1 = 4.

Перепроверим:

Пути из А в Ж: 4.

1. А → Б → Ж → И

2. А → В → Ж → И

3. А → Г → Д → Ж → И

4. А → Г → Ж → И

Также есть пути через З. Но задача просит пути, проходящие через Ж. Это значит, что Ж является обязательным пунктом на пути из А в И.

Пути из А в И:

N(A)=1

N(Б)=1

N(Г)=1

N(В)=1

N(Д)=N(A)+N(Г)=2

N(Ж)=N(Б)+N(В)+N(Д)=1+1+2=4

N(З)=N(Ж)=4

N(И)=N(Ж)+N(З)=4+4=8.

Но нам нужны пути, проходящие через Ж. Это означает, что мы должны рассмотреть только пути, которые включают Ж. Из общего числа путей из А в И (8), сколько из них проходит через Ж?

Пути, проходящие через Ж:

1. А → Б → Ж → И
2. А → В → Ж → И
3. А → Г → Д → Ж → И
4. А → Г → Ж → И

Всего 4 пути.

Другие пути из А в И могут проходить через З, но не через Ж. Например: А → Г → З → И.

Таким образом, количество путей из А в И, проходящих через Ж, равно количеству путей из А в Ж, так как из Ж есть прямой путь в И.

Ответ: 4