2) Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство.

2. Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Дано: Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), BH — высота (BH ⊥ AC).

Доказать: BH — медиана (AH = HC), BH — биссектриса (∠ABH = ∠CBH).

Доказательство:

1. Рассмотрим два треугольника: ΔABH и ΔCBH.
2. По условию AB = BC (стороны равнобедренного треугольника).
3. BH — общая сторона для обоих треугольников.
4. ∠AHB = ∠CHB = 90° (так как BH — высота).
5. По двум катетам и гипотенузе (или по признаку прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе) ΔABH = ΔCBH.
6. Из равенства треугольников следует, что AH = HC. Следовательно, BH — медиана.
7. Из равенства треугольников также следует, что ∠ABH = ∠CBH. Следовательно, BH — биссектриса.

Что и требовалось доказать.