2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (формулировка и доказательство).

Решение:

Свойство отрезков касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Формулировка: Пусть из точки P к окружности с центром O проведены две касательные PA и PB, где A и B — точки касания. Тогда отрезок PA равен отрезку PB.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle PAO \) и \( \triangle PBO \).
2. \( OA = OB \) (радиусы окружности).
3. \( PO \) — общая гипотенуза.
4. \( \angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ} \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
5. По гипотенузе и катету \( (PO = PO, OA = OB) \) треугольники \( \triangle PAO \) и \( \triangle PBO \) равны.
6. Следовательно, \( PA = PB \) как соответствующие стороны равных треугольников.

Что и требовалось доказать.