2. Сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Треугольники». В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найти медиану, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. Билет №6. 1. Луч. Угол. Виды углов. 2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Задача на тему «Свойства параллельности двух прямых». Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210. Найти эти углы. Билет №7. 1. Что такое секущая. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезок АМ-биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в т

Билет №6.

1. Луч. Угол. Виды углов.

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Обозначается двумя точками, одна из которых — начало луча, например, OA.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Виды углов:

• Острый угол — угол, меньший 90°.
• Прямой угол — угол, равный 90°.
• Тупой угол — угол, больший 90°, но меньший 180°.
• Развёрнутый угол — угол, равный 180°.
• Полный угол — угол, равный 360°.

2. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3. Задача на тему «Свойства параллельности двух прямых».

Условие: Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найти эти углы.

Решение:

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны. Поэтому, если их сумма равна 210°, то каждый из этих углов равен:

\( 210^{\circ} : 2 = 105^{\circ} \)

Ответ: Каждый из накрест лежащих углов равен 105°.

Билет №7.

1. Что такое секущая. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые.

При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

• Накрест лежащие углы (например, ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8).
• Соответственные углы (например, ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠8).
• Односторонние углы (например, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6).

2. Сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

Теорема (второй признак равенства треугольников): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), причём \( AB = A_1B_1 \), \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \), \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство от противного:

Предположим, что \( \triangle ABC \) не равен \( \triangle A_1B_1C_1 \). Так как сторона \( AB \) равна стороне \( A_1B_1 \) и углы при них также равны, то это может означать, что третий угол \( \angle ACB \) не равен \( \angle A_1C_1B_1 \).

Если \( \angle ACB > \angle A_1C_1B_1 \), то мы можем отложить от луча \( C_1A_1 \) угол, равный \( \angle ACB \), и на его стороне отложить отрезок \( A_1B_1 \). Но это приведет к противоречию, так как по теореме о сумме углов треугольника, если два угла равны, то и третий угол будет равен.

Следовательно, наши предположения неверны, и \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых».

Условие: Отрезок АМ — биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке К. Доказать, что \( \triangle AMB \) — равнобедренный.

Решение:

1. Так как \( MK \parallel AC \) (по условию), то \( \angle AMK = \angle MAC \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( MK \) и \( AC \) и секущей \( AM \).

2. \( \angle MAC = \angle KAM \) (так как \( AM \) — биссектриса \( \angle BAC \)).

3. Следовательно, \( \angle AMK = \angle KAM \) (по свойству равенства).

4. Так как \( \angle AMK = \angle KAM \), то треугольник \( AKM \) является равнобедренным с основанием \( AK \), и \( MK = AK \).

5. Теперь рассмотрим углы \( \angle AMB \) и \( \angle KMC \). Они являются вертикальными, значит \( \angle AMB = \angle KMC \).

6. Рассмотрим углы \( \angle KMB \) и \( \angle MAC \). Они не являются ни накрест лежащими, ни соответствующими, ни односторонними.

7. Рассмотрим углы \( \angle BKM \) и \( \angle BAC \). Они являются соответствующими при параллельных прямых \( MK \) и \( AC \) и секущей \( AB \).

8. Если \( \angle BKM = \angle BAC \) и \( \angle BAC = 2 \angle KAM \), то \( \angle BKM = 2 \angle KAM \).

9. Учитывая \( \angle KAM = \angle AMK \), получаем \( \angle BKM = 2 \angle AMK \).

10. В треугольнике \( ABM \): \( \angle BAM = \angle KAM \) (так как \( AM \) — биссектриса).

11. \( \angle BMA = \angle KMC \) (вертикальные).

12. \( \angle AMK = \angle MAC \) (накрест лежащие).

13. \( \angle MAC = \angle BAM \) (биссектриса).

14. Отсюда \( \angle AMK = \angle BAM \).

15. Так как \( \angle AMK = \angle BAM \), то треугольник \( ABM \) является равнобедренным с основанием \( BM \).

Ответ: Доказано, что \( \triangle ABM \) — равнобедренный.