2. Решите задачу: 9. Треугольник АВС вписан в окружность. DA — касательная. ∠A = 54°, ∠B = 82° (см. рис. 21). Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Найдем угол ∠C треугольника АВС.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle C = 180° - \angle A - \angle B \)

\( \angle C = 180° - 54° - 82° \)

\( \angle C = 180° - 136° \)

\( \angle C = 44° \)

2. Найдем угол ∠CAD.

Угол между касательной DA и хордой AC равен половине градусной меры дуги AC, на которую он опирается.

Дуга AC = \( 2 \cdot \angle B \)

Дуга AC = \( 2 \cdot 82° \)

Дуга AC = 164°

\( \angle CAD = \frac{\text{дуга AC}}{2} \)

\( \angle CAD = \frac{164°}{2} \)

\( \angle CAD = 82° \)

3. Найдем угол ∠ADC.

Рассмотрим треугольник ADC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle ADC = 180° - \angle A \text{ (угол DAC)} - \angle C \text{ (угол ACD)} \)

Угол ACD состоит из двух частей: угла ACB (который равен углу C треугольника ABC) и угла BCD. Однако, нам проще использовать свойство вписанного угла.

Угол ABC (82°) является вписанным и опирается на дугу AC. Следовательно, центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен 2 * 82° = 164°.

Угол CAD является углом между касательной и хордой. Он равен половине дуги AC, на которую опирается. \( \angle CAD = 164° / 2 = 82° \).

В треугольнике ABC: \( \angle C = 180° - 54° - 82° = 44° \).

Теперь рассмотрим треугольник ADC. У нас есть \( \angle DAC = 54° \) (это угол треугольника ABC, а не угол между касательной и хордой. Угол, образованный касательной DA и хордой AC, равен углу ABC, то есть 82°).
\( \angle DAC \) в треугольнике ADC будет равен \( 54° \).

Нам дан угол \( \angle A = 54° \). Это угол треугольника ABC, который опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = \( 2 \cdot 54° = 108° \).

Угол B = 82°, опирается на дугу AC. Дуга AC = \( 2 \cdot 82° = 164° \).

Угол C = 44°, опирается на дугу AB. Дуга AB = \( 2 \cdot 44° = 88° \).

Проверка: \( 108° + 164° + 88° = 360° \).

Угол между касательной DA и хордой AC равен половине дуги AC. \( \angle DAC_{кас} = 164° / 2 = 82° \).

В треугольнике ADC: \( \angle C_{acd} = \angle ACB = 44° \).

\( \angle ADC = 180° - \angle DAC_{кас} - \angle ACD \)

\( \angle ADC = 180° - 82° - 44° \)

\( \angle ADC = 180° - 126° \)

\( \angle ADC = 54° \)

Ответ: 54.