2. Решите уравнение |x-2| + |x-3| = 1 аналитически и графически.

Решение задачи 2:

Дано уравнение: \( |x - 2| + |x - 3| = 1 \)

Аналитическое решение:

Рассмотрим три интервала, определяемых корнями выражений под знаком модуля: \( x=2 \) и \( x=3 \).

1. Интервал \( x < 2 \):

\( -(x - 2) - (x - 3) = 1 \)

\( -x + 2 - x + 3 = 1 \)

\( -2x + 5 = 1 \)

\( -2x = -4 \)

\( x = 2 \)

Этот корень не входит в интервал \( x < 2 \), поэтому не является решением.

2. Интервал \( 2 ≤ x < 3 \):

\( (x - 2) - (x - 3) = 1 \)

\( x - 2 - x + 3 = 1 \)

\( 1 = 1 \)

Это тождество верно для всех \( x \) из данного интервала. Следовательно, все \( x \) в промежутке \( [2, 3) \) являются решениями.

3. Интервал \( x ≥ 3 \):

\( (x - 2) + (x - 3) = 1 \)

\( 2x - 5 = 1 \)

\( 2x = 6 \)

\( x = 3 \)

Этот корень входит в данный интервал.

Объединяя решения из всех интервалов, получаем, что решениями являются все \( x \) из отрезка \( [2, 3] \).

Графическое решение:

Построим графики функций \( y = |x - 2| + |x - 3| \) и \( y = 1 \).

Функция \( y = |x - 2| + |x - 3| \) имеет вид:

• \( y = -2x + 5 \) при \( x < 2 \)
• \( y = 1 \) при \( 2 ≤ x < 3 \)
• \( y = 2x - 5 \) при \( x ≥ 3 \)

График функции \( y = |x - 2| + |x - 3| \) совпадает с прямой \( y = 1 \) на отрезке \( [2, 3] \).

Ответ: \( [2, 3] \).