2. Решите уравнение: 5^{x+1} + 4 \(\cdot\) 5^x = 25 \(\cdot\) 3^x.

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, сначала упростим левую часть:

\( 5^{x+1} + 4 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x = 5 \cdot 5^x + 4 \cdot 5^x \)

Вынесем общий множитель \( 5^x \):

\( 5^x (5 + 4) = 9 \cdot 5^x \)

Теперь исходное уравнение примет вид:

\( 9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x \)

Разделим обе части уравнения на \( 3^x \) (так как \( 3^x \) всегда больше нуля, это допустимое действие):

\( 9 \cdot \frac{5^x}{3^x} = 25 \)

Используя свойство степеней \( \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x \), получим:

\( 9 \cdot (\frac{5}{3})^x = 25 \)

Разделим обе части на 9:

\( (\frac{5}{3})^x = \frac{25}{9} \)

Заметим, что \( \frac{25}{9} \) можно представить как квадрат \( \frac{5}{3} \):

\( (\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2 \)

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели степеней:

\( x = 2 \)

Проверим найденное решение, подставив \( x = 2 \) в исходное уравнение:

Левая часть: \( 5^{2+1} + 4 \cdot 5^2 = 5^3 + 4 \cdot 25 = 125 + 100 = 225 \)

Правая часть: \( 25 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225 \)

Левая часть равна правой, значит, решение верно.

Ответ: x = 2.