2. Решите уравнение: 5^(x+1) + 4 * 5^x = 25 * 3^x.

Решение:

Для решения данного уравнения, воспользуемся свойствами степеней и приведём его к более простому виду.

1. Представим \( 5^{x+1} \) как \( 5^x \cdot 5^1 \) согласно свойству степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 5 \cdot 5^x + 4 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x \).
3. Сгруппируем слагаемые с \( 5^x \) в левой части: \( (5+4) \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x \), что упрощается до \( 9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x \).
4. Теперь разделим обе части уравнения на \( 3^x \) (так как \( 3^x \) всегда больше нуля, деление допустимо) и на \( 9 \) для выделения соотношения степеней: \( \frac{5^x}{3^x} = \frac{25}{9} \).
5. Используя свойство степеней \( \frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m \), получим: \( (\frac{5}{3})^x = \frac{25}{9} \).
6. Заметим, что \( \frac{25}{9} \) можно представить как \( (\frac{5}{3})^2 \).
7. Таким образом, уравнение принимает вид: \( (\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2 \).
8. Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели степеней: \( x = 2 \).

Ответ: x = 2.