2. Решите неравенство 2x-3 (x+1)(5-x) ≥ 0

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{2x-3}{(x+1)(5-x)} \ge 0 \) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( 2x-3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
2. Корни знаменателя: \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) и \( 5-x = 0 \Rightarrow x = 5 \).

Эти корни разбивают числовую ось на интервалы:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, \frac{3}{2}) \)
• \( (\frac{3}{2}, 5) \)
• \( (5, +\infty) \)

Определим знак выражения \( \frac{2x-3}{(x+1)(5-x)} \) на каждом интервале:

• На интервале \( (-\infty, -1) \): Возьмём \( x = -2 \). Выражение равно \( \frac{2(-2)-3}{(-2+1)(5-(-2))} = \frac{-7}{(-1)(7)} = 1 \) (знак +).
• На интервале \( (-1, \frac{3}{2}) \): Возьмём \( x = 0 \). Выражение равно \( \frac{2(0)-3}{(0+1)(5-0)} = \frac{-3}{(1)(5)} = -\frac{3}{5} \) (знак -).
• На интервале \( (\frac{3}{2}, 5) \): Возьмём \( x = 4 \). Выражение равно \( \frac{2(4)-3}{(4+1)(5-4)} = \frac{5}{(5)(1)} = 1 \) (знак +).
• На интервале \( (5, +\infty) \): Возьмём \( x = 6 \). Выражение равно \( \frac{2(6)-3}{(6+1)(5-6)} = \frac{9}{(7)(-1)} = -\frac{9}{7} \) (знак -).

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю (\( \ge 0 \)). Значит, выбираем интервалы со знаком "+". Корень числителя \( x = \frac{3}{2} \) включается в решение, так как неравенство нестрогое. Корни знаменателя \( x = -1 \) и \( x = 5 \) не включаются, потому что на них знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, решением являются интервалы \( (-1, \frac{3}{2}] \) и \( (5, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-1; \frac{3}{2}] \cup (5; +\infty) \).