2. Решить задачи:

Решение:

a) Найти периметр квадрата ABCD.

На рисунке изображен квадрат ABCD, диагональ AC делит угол DAB. В треугольнике ACD угол CAD равен 60°, а угол ADC равен 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, угол ACD = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ADC катет CD лежит напротив угла CAD (60°), а катет AD лежит напротив угла ACD (30°). Диагональ AC равна 6.

Диагональ AC делит угол DAB (90°) пополам, значит, угол CAB = угол CAD = 90° / 2 = 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол ABC = 90°, угол CAB = 45°. Следовательно, угол ACB = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как углы CAB и ACB равны, треугольник ABC — равнобедренный, и стороны AB = BC.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \). Так как AB = BC, то \( 2 \cdot AB^2 = AC^2 \).

\( 2 \cdot AB^2 = 6^2 = 36 \)

\( AB^2 = 18 \)

\( AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Сторона квадрата равна \( 3\sqrt{2} \).

Периметр квадрата равен \( P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \).

Ответ: Периметр квадрата равен \( 12\sqrt{2} \).

б) Один из углов ромба равен 90°. Доказать, что этот ромб является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан ромб ABCD, и один из его углов, например, ∠A = 90°.

1. Свойства ромба: Противоположные углы ромба равны: ∠A = ∠C = 90°, ∠B = ∠D.
2. Сумма углов смежных углов: В ромбе (как и в любом параллелограмме) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°.
3. Нахождение остальных углов: Так как ∠A = 90°, то 90° + ∠B = 180°, откуда ∠B = 180° - 90° = 90°.
4. Равенство углов: Поскольку противоположные углы равны, то ∠C = ∠A = 90° и ∠D = ∠B = 90°.
5. Вывод: Все углы ромба равны 90°. Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом.

Таким образом, доказано, что ромб, один из углов которого равен 90°, является квадратом.