2. Решить уравнения вида $a^{f(x)}=a^{\varphi(x)}$: а) $5^{x^2-\frac57}=\sqrt{25}$; б) $(0,1(6))^{x-6}\cdot0,25=54$; в) $\left(\frac1{0,125}\right)^x=128$; г) $(10^{5-x})^{6-x}=100$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решить уравнения вида $a^{f(x)}=a^{\varphi(x)}$: а) $5^{x^2-\frac57}=\sqrt{25}$; б) $(0,1(6))^{x-6}\cdot0,25=54$; в)…$ Фото задания

2. Решить уравнения вида $a^{f(x)}=a^{\varphi(x)}$: а) $5^{x^2-\frac57}=\sqrt{25}$; б) $(0,1(6))^{x-6}\cdot0,25=54$; в) $\left(\frac1{0,125}\right)^x=128$; г) $(10^{5-x})^{6-x}=100$.

Accepted Answer

а) Так как $\sqrt{25}=5=5^1$, приравниваем показатели:

$x^2-\frac57=1$, поэтому $x^2=\frac{12}{7}$, откуда $x=\pm\sqrt{\frac{12}{7}}=\pm\frac{2\sqrt{21}}7$.

б) Периодическая дробь $0,1(6)=\frac16$, а $0,25=\frac14$:

$\left(\frac16\right)^{x-6}\cdot\frac14=54$, следовательно $\left(\frac16\right)^{x-6}=216=6^3$.

Записываем левую часть как степень числа 6: $6^{6-x}=6^3$. Тогда $6-x=3$, откуда $x=3$.

в) $0,125=\frac18$, значит $\left(\frac1{0,125}\right)^x=8^x$. Получаем $8^x=128$, то есть $2^{3x}=2^7$. Поэтому $3x=7$, $x=\frac73$.

г) $(10^{5-x})^{6-x}=10^{(5-x)(6-x)}$, а $100=10^2$. Приравниваем показатели:

$(5-x)(6-x)=2$, откуда $x^2-11x+28=0$.

$(x-4)(x-7)=0$, поэтому $x=4$ или $x=7$.

Ответ: а) $x=\pm\frac{2\sqrt{21}}7$; б) $x=3$; в) $x=\frac73$; г) $x=4,7$.

2. Решить уравнения вида \(a^{f(x)}=a^{\varphi(x)}\): а) \(5^{x^2-\frac57}=\sqrt{25}\); б) \((0,1(6))^{x-6}\cdot0,25=54\); в) \(\left(\frac1{0,125}\right)^x=128\); г) \((10^{5-x})^{6-x}=100\).

Ответ: