2. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Так как треугольник \(ADC\) равнобедренный с основанием \(DC\), то \(AD=AC\). Так как треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(DC\), то \(BD=BC\).

Рассмотрим треугольники \(ADB\) и \(ACB\). В них:

• \(AD=AC\);
• \(BD=BC\);
• \(AB\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ADB=\triangle ACB\) по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны:

\[\angle ADB=\angle ACB.\]

Кроме того, точки \(A\) и \(B\) равноудалены от точек \(D\) и \(C\): \(AD=AC\), \(BD=BC\). Значит, прямая \(AB\) является серединным перпендикуляром к отрезку \(DC\). Точка \(O\), лежащая на этой прямой и на отрезке \(DC\), является серединой отрезка \(DC\).

Следовательно, \[DO=OC.\]

Ответ: а) \(\angle ADB=\angle ACB\); б) \(DO=OC\).