2. Расстояние от Земли до Луны равно 384 400 км, расстояние от Юпитера до его спутника Ио — 421 600 км. У какого из спутников период обращения вокруг планеты больше и во сколько раз? Учтите, что Юпитер существенно массивнее Земли.

Решение:

Для определения, у какого спутника период обращения вокруг планеты больше, и во сколько раз, нам понадобится использовать третий закон Кеплера в модифицированной форме, учитывающей массы центральных тел.

Модифицированный третий закон Кеплера:

• \[ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G(M + m)} a^3 \]

Где:

• $$T$$ — период обращения спутника.
• $$G$$ — гравитационная постоянная.
• $$M$$ — масса центрального тела (планеты).
• $$m$$ — масса спутника.
• $$a$$ — большая полуось орбиты спутника (среднее расстояние от планеты до спутника).

Поскольку масса спутника ($$m$$) значительно меньше массы планеты ($$M$$), то $$M+m \approx M$$. В этом случае закон Кеплера можно упростить:

• \[ T^2 \approx \frac{4 \pi^2}{GM} a^3 \]
• \[ T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \]

Из этой формулы видно, что период обращения спутника ($$T$$) пропорционален степени 3/2 расстояния до планеты ($$a^{3/2}$$) при постоянной массе планеты ($$M$$).

Условие задачи:

• Расстояние от Земли до Луны ($$a_{Луны}$$) = 384 400 км
• Расстояние от Юпитера до Ио ($$a_{Ио}$$) = 421 600 км
• Масса Юпитера ($$M_{Юпитера}$$) >> Масса Земли ($$M_{Земли}$$)

Сравнение периодов:

Так как Юпитер существенно массивнее Земли, нам нужно учесть этот факт. Однако, если бы массы планет были одинаковы, то период обращения спутника был бы больше у того, кто дальше от своей планеты. В данном случае, Ио находится дальше от Юпитера, чем Луна от Земли.

Оценка:

Если бы $$M_{Юпитера} = M_{Земли}$$, то $$T_{Ио} > T_{Луны}$$ так как $$a_{Ио} > a_{Луны}$$.

Теперь учтем разницу в массах. Третий закон Кеплера показывает, что чем больше масса центрального тела ($$M$$), тем меньше период обращения ($$T$$) при том же радиусе орбиты ($$a$$).

Анализ:

1. Увеличение расстояния: $$a_{Ио}$$ > $$a_{Луны}$$. Это приводит к увеличению периода обращения.

2. Увеличение массы планеты: $$M_{Юпитера}$$ >> $$M_{Земли}$$. Это приводит к уменьшению периода обращения.

Нам нужно сравнить эти два эффекта.

Для Луны (период ~ 27.3 дней, масса Земли ~ 5.97 × 10^24 кг).

Для Ио (период ~ 42.5 часов = ~1.77 дней, масса Юпитера ~ 1.90 × 10^27 кг).

Из реальных данных мы видим, что период обращения Ио намного меньше периода обращения Луны, несмотря на большее расстояние. Это происходит потому, что огромная масса Юпитера значительно ускоряет движение его спутников.

Расчет соотношения периодов (приблизительный):

Пусть $$T_{Луны}$$ и $$T_{Ио}$$ — периоды обращения Луны и Ио соответственно.

\[ \frac{T_{Ио}^2}{T_{Луны}^2} = \frac{a_{Ио}^3 / M_{Юпитера}}{a_{Луны}^3 / M_{Земли}} = \left(\frac{a_{Ио}}{a_{Луны}}\right)^3 \cdot \frac{M_{Земли}}{M_{Юпитера}} \]

\[ \frac{T_{Ио}^2}{T_{Луны}^2} = \left(\frac{421600}{384400}\right)^3 \cdot \frac{5.97 \times 10^{24}}{1.90 \times 10^{27}} \]

\[ \frac{T_{Ио}^2}{T_{Луны}^2} \approx (1.096)^3 \cdot 0.00314 \approx 1.315 \cdot 0.00314 \approx 0.00413 \]

\[ \frac{T_{Ио}}{T_{Луны}} \approx \sqrt{0.00413} \approx 0.064 \]

Это означает, что $$T_{Ио} \approx 0.064 \cdot T_{Луны}$$.

Следовательно, период обращения Луны вокруг Земли больше, чем период обращения Ио вокруг Юпитера.

Во сколько раз период Луны больше периода Ио:

\[ \frac{T_{Луны}}{T_{Ио}} \approx \frac{1}{0.064} \approx 15.6 \]

Ответ: Период обращения Луны вокруг Земли больше, чем период обращения Ио вокруг Юпитера, примерно в 15,6 раз.