2. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция убывает.

Question

Вопрос:

Фото задания

2. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция убывает.

Accepted Answer

Функция имеет вид:

\(y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9\).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы: \(V(2;-9)\), ось симметрии: \(x=2\).

При \(x=0.5\):
\[y=0.5^2-4\cdot0.5-5=0.25-2-5=-6.75.\]
Найдём значения \(x\), при которых \(y=3\):
\[x^2-4x-5=3,\]
\[x^2-4x-8=0.\]
\[x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3.\]
Приближённо: \(x_1\approx-1.46\), \(x_2\approx5.46\).
Нули функции найдём из уравнения:
\[x^2-4x-5=0,\]
\[(x+1)(x-5)=0.\]
Следовательно, нули функции: \(x=-1\) и \(x=5\).
Так как парабола направлена вверх, то \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(-1;5)\).
Абсцисса вершины параболы равна \(x=2\). До вершины функция убывает.

Ответ: а) \(y=-6.75\); б) \(x=2\pm2\sqrt3\) (примерно \(-1.46\) и \(5.46\)); в) нули: \(-1\) и \(5\); \(y>0\) на \((-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\), \(y<0\) на \((-1;5)\); г) функция убывает на \((-\infty;2)\).