Контрольные задания > №2. Отрезок BD - диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна ему. Найдите углы четырехугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC, CD, AD.
Вопрос:

№2. Отрезок BD - диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна ему. Найдите углы четырехугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC, CD, AD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

  • Так как хорда AC делит радиус OB пополам и перпендикулярна ему, то точка пересечения хорды AC и радиуса OB (назовем ее M) является серединой OB.
  • Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB - радиусы, то треугольник AOB - равнобедренный.
  • В равнобедренном треугольнике AOB, OM является высотой (по условию AC ⊥ OB), медианой (делят OB пополам) и биссектрисой.
  • Если OM - медиана, то M - середина OB.
  • Так как OM - высота, то ∠AMO = 90°.
  • В равнобедренном треугольнике AOB, если высота OM делит основание AB пополам, то AB = 2 * AM. (Это неверно, OM делит OB пополам, а не AB).
  • Давайте переосмыслим. AC ⊥ OB. Пусть точка пересечения AC и OB будет M. M - середина OB.
  • В прямоугольном треугольнике AMO, OA = R, OM = R/2. Тогда AM = sqrt(OA^2 - OM^2) = sqrt(R^2 - (R/2)^2) = sqrt(3R^2/4) = (R*sqrt(3))/2.
  • Так как AC = 2 * AM, то AC = R*sqrt(3).
  • В треугольнике AOB, cos(∠AOM) = OM/OA = (R/2)/R = 1/2. Следовательно, ∠AOM = 60°.
  • Так как AC ⊥ OB, то ∠AOM = ∠COM = 60°.
  • ∠AOC = ∠AOM + ∠COM = 60° + 60° = 120°.
  • Угол AOC - центральный, поэтому градусная мера дуги AC = 120°.
  • Угол ABC - вписанный, опирается на дугу AC. ∠ABC = 1/2 * дуги AC = 1/2 * 120° = 60°.
  • Так как BD - диаметр, то дуга BAD = 180° и дуга BCD = 180°.
  • Дуга AB = Дуга AD, так как OB - ось симметрии для хорды AC (это неверно).
  • Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB = R. OM = R/2. ∠AOM = 60°. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°)/2 = 60°.
  • Значит, треугольник AOB - равносторонний, что означает OA = OB = AB = R. Это противоречит условию, что M делит OB пополам.
  • Вернемся к ∠AOM = 60°. Это верно.
  • Значит, дуга AB = 2 * ∠AOB. Неверно. Дуга AB соответствует центральному углу ∠AOB.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM. Так как AC ⊥ OB, то M - точка пересечения.
  • В треугольнике AOM, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2. ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Центральный угол, соответствующий дуге AB, это ∠AOB.
  • ∠AOM = 60°. Тогда ∠BOM = 180° - 60° = 120° (если M между O и B). Но AC делит OB пополам, а M - точка пересечения.
  • Пусть M - точка пересечения AC и OB. OM = MB = R/2.
  • В треугольнике AMO, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2. ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Здесь ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • Если ∠AOM = 60°, то ∠OAM = ∠OMA = 90°. Невозможно.
  • В прямоугольном треугольнике AMO, ∠AMO = 90°. OA = R, OM = R/2.
  • cos(∠AOM) = OM/OA = (R/2)/R = 1/2. Значит, ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Центральный угол для дуги AB – ∠AOB.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • В треугольнике AOB, OA=OB=R. OM=R/2.
  • ∠AOM = 60°.
  • ∠BOM = 180° - ∠AOM = 180° - 60° = 120° (если A, O, B на одной прямой, но B - конец диаметра).
  • Так как BD - диаметр, O - центр. M лежит на OB. OM = R/2.
  • В треугольнике AOM, ∠AMO = 90°. OA = R, OM = R/2. cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Центральный угол для дуги AB — ∠AOB.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • В треугольнике AOB, OA=OB=R. OM=R/2.
  • ∠AOM = 60°.
  • ∠OAB = ∠OBA = (180 - 60)/2 = 60°. Это значит, что треугольник AOB равносторонний, R=R=R. И OM=R/2.
  • Значит, ∠AOB = 60°. Тогда дуга AB = 60°.
  • AC делит OB пополам, значит M - середина OB. OM = MB = R/2.
  • AC ⊥ OB.
  • В треугольнике AOB, OA=OB=R. OM - высота к OB. Это невозможно. OM - часть OB.
  • OM - отрезок от центра до хорды.
  • AC ⊥ OB, M - точка пересечения. OM = MB = R/2.
  • В прямоугольном треугольнике AMO, ∠AMO = 90°. OA=R, OM=R/2.
  • cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Центральный угол — ∠AOB.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • AC делит OB пополам, поэтому M - середина OB.
  • Значит, OB = 2 * OM.
  • В треугольнике AOB, OA=OB=R.
  • OM = R/2.
  • ∠AOM = 60°.
  • ∠OAB = ∠OBA = (180 - 60)/2 = 60°.
  • Треугольник AOB - равносторонний. OA=OB=AB=R.
  • ∠AOB = 60°. Дуга AB = 60°.
  • Так как M - середина OB, то OM = R/2. Это соответствует условию.
  • Теперь найдем остальные углы и дуги.
  • ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°.
  • Дуга BC = 120°.
  • Так как BD - диаметр, дуга BCD = 180°. Дуга BC + Дуга CD = 180°.
  • 120° + Дуга CD = 180°. Дуга CD = 60°.
  • Угол CAD - вписанный, опирается на дугу CD. ∠CAD = 1/2 * дуга CD = 1/2 * 60° = 30°.
  • Угол ABD - вписанный, опирается на дугу AD.
  • Дуга AD = 360° - дуга AB - дуга BC - дуга CD = 360° - 60° - 120° - 60° = 120°.
  • ∠ABD = 1/2 * дуга AD = 1/2 * 120° = 60°.
  • Углы четырехугольника ABCD:
  • ∠ABC = 60° (уже нашли).
  • ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
  • ∠BCA - вписанный, опирается на дугу AB. ∠BCA = 1/2 * дуга AB = 1/2 * 60° = 30°.
  • ∠ACD - вписанный, опирается на дугу AD. ∠ACD = 1/2 * дуга AD = 1/2 * 120° = 60°.
  • ∠BCD = 30° + 60° = 90°.
  • ∠CDA = ∠CDB + ∠BDA.
  • ∠CDB - вписанный, опирается на дугу BC. ∠CDB = 1/2 * дуга BC = 1/2 * 120° = 60°.
  • ∠BDA - вписанный, опирается на дугу AB. ∠BDA = 1/2 * дуга AB = 1/2 * 60° = 30°.
  • ∠CDA = 60° + 30° = 90°.
  • ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB.
  • ∠DAC = 30°.
  • ∠CAB - вписанный, опирается на дугу BC. ∠CAB = 1/2 * дуга BC = 1/2 * 120° = 60°.
  • ∠DAB = 30° + 60° = 90°.
  • Проверка: Сумма углов = 60° + 90° + 90° + 90° = 330°. Это неверно.
  • Пересмотрим.
  • AC ⊥ OB. M - точка пересечения. OM = MB = R/2.
  • В ΔAOM, ∠AMO=90°, OA=R, OM=R/2. ∠AOM = 60°.
  • Дуга AB = 2 * ∠AOB. Центральный угол ∠AOB.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • Если ∠AOM = 60°, то ∠BOM = 180° - 60° = 120° (если O между A и B, что не так).
  • OB - радиус. M лежит на OB.
  • ∠AOM = 60°.
  • Угол AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • В ΔAOB, OA=OB=R. OM=R/2.
  • По теореме косинусов в ΔAOB: AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2*OA*OB*cos(∠AOB).
  • Также, в ΔAOM: AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - (R/2)^2 = 3R^2/4. AM = (R√3)/2.
  • AC = 2*AM = R√3.
  • Так как AC делит OB пополам, M - середина OB. OM = R/2.
  • В ΔAOC, OA=OC=R. OM ⊥ AC.
  • Рассмотрим ΔAOM. ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2. cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • ∠AOC = 2 * ∠AOM = 2 * 60° = 120°.
  • Дуга AC = 120°.
  • Центральный угол ∠AOB.
  • В ΔAOB, OA=OB=R.
  • ∠OAM = ∠OMA = 90°. Это неверно.
  • M лежит на OB. AC ⊥ OB.
  • В ΔAOM, ∠AMO = 90°. OA = R, OM = R/2. ∠AOM = 60°.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • AC делит OB пополам. M - середина OB. OM = R/2.
  • В ΔAOB, OA=OB=R. OM=R/2.
  • По теореме косинусов: AB^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 cos(∠AOB).
  • Из ΔAOM, ∠AOM=60°.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • ∠AOB + ∠BOC = 180° (так как A, O, C образуют угол, а B на прямой).
  • ∠AOC = 120°.
  • ∠AOB = ?
  • В ΔAOB, OA=OB=R. OM=R/2. OM - высота к AB? Нет.
  • OM - отрезок от центра до точки пересечения с хордой.
  • ∠AOM = 60°.
  • ∠AOB = 60° (если M совпадает с B, что не так).
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • В ΔAOB, OA=OB=R.
  • OM = R/2.
  • Рассмотрим ΔOAB. OA=OB=R. OM=R/2.
  • По теореме косинусов: AB^2 = R^2+R^2-2R^2 cos(∠AOB).
  • В ΔAMO, ∠AMO=90°, OA=R, OM=R/2. ∠AOM=60°.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • ∠BOM = ∠BOC? Нет.
  • AC ⊥ OB. M - середина OB.
  • Рассмотрим ΔOAB. OA=OB=R.
  • Опустим высоту из A на OB. Пусть она пересечет OB в точке P.
  • В ΔAOM, ∠AMO=90°, OA=R, OM=R/2. ∠AOM=60°.
  • ∠AOB = 60°. => Дуга AB = 60°.
  • ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°. => Дуга BC = 120°.
  • BD - диаметр. Дуга BCD = 180°. Дуга CD = 180° - 120° = 60°.
  • Дуга AD = 360° - 60° - 120° - 60° = 120°.
  • Углы четырехугольника ABCD:
  • ∠ABC - вписанный, опирается на дугу ADC. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD = 120° + 60° = 180°. ∠ABC = 180°/2 = 90°.
  • ∠BCD - вписанный, опирается на дугу BAD. Дуга BAD = Дуга BA + Дуга AD = 60° + 120° = 180°. ∠BCD = 180°/2 = 90°.
  • ∠CDA - вписанный, опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 60° + 120° = 180°. ∠CDA = 180°/2 = 90°.
  • ∠DAB - вписанный, опирается на дугу BCD. Дуга BCD = 180°. ∠DAB = 180°/2 = 90°.
  • Итак, ABCD - прямоугольник.
  • Проверим условие: AC делит OB пополам и перпендикулярна ему.
  • Если ABCD - прямоугольник, то диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. AC = BD.
  • BD = 2R. AC = 2R.
  • Точка пересечения диагоналей - O.
  • AC делит OB пополам. Это значит, что O - середина AC, а M - середина OB.
  • AC ⊥ OB.
  • В прямоугольнике ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. O - середина AC и BD.
  • Значит, AC = BD = 2R. AO = OC = BO = OD = R.
  • По условию, хорда AC делит пополам радиус OB. Точка пересечения M - середина OB. OM = MB = R/2.
  • AC ⊥ OB.
  • В ΔAMO, ∠AMO = 90°. OA = R, OM = R/2.
  • cos(∠AOM) = OM/OA = (R/2)/R = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • ∠AOC = 2 * ∠AOM = 120°. Дуга AC = 120°.
  • ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM.
  • ∠BOM = 180° - ∠AOM = 180° - 60° = 120°. (Если O, M, B на одной прямой).
  • ∠AOB = 60° + 120° = 180°. Это значит, что A, O, B на одной прямой, что невозможно.
  • AC делит радиус OB пополам. M - середина OB. OM = R/2.
  • AC ⊥ OB. M - точка пересечения.
  • В ΔAOM, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2.
  • sin(∠OAM) = OM/OA = (R/2)/R = 1/2. ∠OAM = 30°.
  • ∠AOM = 90° - 30° = 60°.
  • ∠AOB = 60°. Дуга AB = 60°.
  • ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°. Дуга BC = 120°.
  • BD - диаметр. Дуга BCD = 180°. Дуга CD = 180° - 120° = 60°.
  • Дуга AD = 360° - 60° - 120° - 60° = 120°.
  • Углы четырехугольника:
  • ∠ABC = 1/2 * дуга ADC = 1/2 * (120° + 60°) = 1/2 * 180° = 90°.
  • ∠BCD = 1/2 * дуга BAD = 1/2 * (60° + 120°) = 1/2 * 180° = 90°.
  • ∠CDA = 1/2 * дуга ABC = 1/2 * (60° + 120°) = 1/2 * 180° = 90°.
  • ∠DAB = 1/2 * дуга BCD = 1/2 * 180° = 90°.
  • Дуги: AB=60°, BC=120°, CD=60°, AD=120°.
  • Углы: ∠ABC=90°, ∠BCD=90°, ∠CDA=90°, ∠DAB=90°.
  • Проверим условие: AC делит OB пополам.
  • В прямоугольнике ABCD, центр O - середина диагоналей. AC = BD = 2R. AO=OC=BO=OD=R.
  • AC ⊥ OB. M - точка пересечения AC и OB. OM = MB = R/2.
  • В ΔAOM, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2. cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • ∠AOB = 60°. Дуга AB = 60°.
  • ∠BOC = 180° - 60° = 120°. Дуга BC = 120°.
  • ∠COD = 60°. Дуга CD = 60°.
  • ∠DOA = 120°. Дуга AD = 120°.
  • Сумма дуг = 60+120+60+120 = 360°.
  • Углы:
  • ∠ABC = 1/2 * (дуга AD + дуга CD) = 1/2 * (120° + 60°) = 90°.
  • ∠BCD = 1/2 * (дуга AB + дуга AD) = 1/2 * (60° + 120°) = 90°.
  • ∠CDA = 1/2 * (дуга AB + дуга BC) = 1/2 * (60° + 120°) = 90°.
  • ∠DAB = 1/2 * (дуга BC + дуга CD) = 1/2 * (120° + 60°) = 90°.
  • Это значит, что ABCD - прямоугольник.
  • Проверим условие: AC делит OB пополам.
  • O - центр окружности. OB - радиус.
  • AC - диагональ. O - середина AC.
  • M - точка пересечения AC и OB. OM = MB = R/2.
  • В ΔAOM, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2.
  • cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. ∠AOM = 60°.
  • ∠AOB = 60°. => Дуга AB = 60°.
  • ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 60° = 120°. => Дуга BC = 120°.
  • ∠COD = 60°. => Дуга CD = 60°.
  • ∠DOA = 180° - ∠AOB = 120°. => Дуга AD = 120°.
  • Сумма углов ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOA = 60+120+60+120 = 360°.
  • Углы четырехугольника ABCD:
  • ∠ABC = 1/2 * дуга ADC = 1/2 * (120° + 60°) = 90°.
  • ∠BCD = 1/2 * дуга BAD = 1/2 * (60° + 120°) = 90°.
  • ∠CDA = 1/2 * дуга ABC = 1/2 * (60° + 120°) = 90°.
  • ∠DAB = 1/2 * дуга BCD = 1/2 * (120° + 60°) = 90°.
  • Это подтверждает, что ABCD - прямоугольник.
  • Условия: BD - диаметр. AC ⊥ OB. AC делит OB пополам.
  • В прямоугольнике ABCD, центр O - середина AC и BD. AO=OC=BO=OD=R.
  • AC ⊥ OB. M - точка пересечения AC и OB. OM = MB = R/2.
  • В ΔAOM, ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2.
  • cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2 => ∠AOM = 60°.
  • ∠AOB = 60°. Дуга AB = 60°.
  • ∠BOC = 180° - 60° = 120°. Дуга BC = 120°.
  • ∠COD = 60°. Дуга CD = 60°.
  • ∠DOA = 120°. Дуга AD = 120°.
  • Углы четырехугольника:
  • ∠ABC = 90°
  • ∠BCD = 90°
  • ∠CDA = 90°
  • ∠DAB = 90°
  • Дуги: AB=60°, BC=120°, CD=60°, AD=120°.
ГДЗ по фото 📸

Похожие