2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

1. Нахождение радиуса вписанной окружности (r):

• Треугольник равнобедренный с основанием $$a = 18$$ см и боковыми сторонами $$b = 15$$ см.
• Найдем высоту (h) к основанию: $$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$$ см.
• Площадь треугольника (S): $$S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$$ см².
• Полупериметр (p): $$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{18 + 15 + 15}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ см.
• Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{24} = 4.5$$ см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности (R):

• Формула радиуса описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где a, b, c - стороны треугольника.
• $$R = \frac{18 \times 15 \times 15}{4 \times 108} = \frac{4050}{432} = 9.375$$ см.

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: $$r = 4.5$$ см.
• Радиус описанной окружности: $$R = 9.375$$ см.