2 Описанная окружность. Терема об описанной окружности (с рисунком и условием).

Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность, и только одна.

Условие: Дано: \( \triangle ABC \) и окружность \( \omega \) с центром \( O \) и радиусом \( R \). Окружность \( \omega \) описана около \( \triangle ABC \), если все вершины \( A, B, C \) лежат на окружности.

Доказательство (основная идея): Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формула радиуса описанной окружности:

Для любого треугольника: \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( S \) — площадь треугольника.

Для прямоугольного треугольника: \( R = \frac{c}{2} \), где \( c \) — гипотенуза.

Для правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона.