2. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 9, а сторона АС в 3 раза больше стороны ВС.

Решение:

Пусть \(\omega\) - данная окружность. Окружность проходит через точки B, C, K, P.

Четырёхугольник ABCP вписан в окружность. Следовательно, ABCD - вписанный четырёхугольник. Значит, \(\angle AKР = \angle ACB \) и \(\angle AKP = \angle ABC \) - это неверно.

Точки B, C, K, P лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник BKPC является вписанным в окружность.

Из подобия треугольников \(\triangle AKР \) и \(\triangle ABC \) следует, что \( \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC} \).

У нас есть \( AK = 9 \).

По условию, \( AC = 3 \cdot BC \).

Из подобия \( \triangle AKР \) и \(\triangle ABC \): \( KP = BC \u0007 \frac{AK}{AB} = BC \u0007 \frac{9}{AB} \).

Нам нужно найти AB.

Из подобия \( \triangle AKР \) и \(\triangle ABC \): \( \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} \).

Так как BKPC - вписанный четырёхугольник, то \(\angle AKР = \angle ACB \) и \(\angle APK = \angle ABC \) - это неверно.

Угол \(\angle BAC \) - общий для \(\triangle AKР \) и \(\triangle ABC \).

Если \(\triangle AKР \) подобен \(\triangle ABC \), то \(\angle AKР = \angle ABC \) и \(\angle APK = \angle ACB \).

Так как BKPC вписан в окружность, то \(\angle AKР = \angle ACB \) (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему противолежащему).

Рассмотрим \(\triangle ABC \) и \(\triangle AKР \). У них есть общий угол \(\angle A \).

Если \(\angle AKР = \angle ACB \), то \(\triangle AKР \sim \triangle ABC \) по двум углам (угол A и \(\angle AKР = \angle ACB \)).

Из подобия следует: \( \frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC} \).

У нас дано \( AK = 9 \) и \( AC = 3 \cdot BC \).

Тогда \( KP = BC \u0007 \frac{AK}{AC} = BC \u0007 \frac{9}{3 \cdot BC} = \frac{9 \cdot BC}{3 \cdot BC} = 3 \).

Ответ: 3.