2. Найти производную функции: 1) 3/x + 2√x - eˣ; 2) (3x - 5)⁴; 3) 3 sin 2x cos x; 4) x³ / (x² + 5)

Привет! Давай найдем производные для каждой функции по очереди. Это как разминка для нашего мозга!

1) Производная от 3/x + 2√x - eˣ

Сначала вспомним правила:

• (c/x) = -c/x²
• (√x) = 1 / (2√x)
• (eˣ) = eˣ

Теперь применяем:

(3/x)' = -3/x²

(2√x)' = 2 * (1 / (2√x)) = 1/√x

(eˣ)' = eˣ

Собираем все вместе:

(3/x + 2√x - eˣ)' = -3/x² + 1/√x - eˣ

2) Производная от (3x - 5)⁴

Здесь у нас сложная функция, так что будем использовать правило цепочки (производная внешняя * производная внутренняя).

Внешняя функция: u⁴, ее производная 4u³.

Внутренняя функция: 3x - 5, ее производная 3.

Применяем правило цепочки:

((3x - 5)⁴)' = 4 * (3x - 5)³ * (3x - 5)'

= 4 * (3x - 5)³ * 3

= 12 * (3x - 5)³

3) Производная от 3 sin 2x cos x

Тут у нас произведение двух функций, поэтому будем использовать правило производной произведения: (uv)' = u'v + uv'.

Пусть u = 3 sin 2x и v = cos x.

Найдем производные:

u' = (3 sin 2x)'. Используем правило цепочки: 3 * cos(2x) * (2x)' = 3 * cos(2x) * 2 = 6 cos(2x).

v' = (cos x)' = -sin x.

Теперь подставляем в формулу производной произведения:

(3 sin 2x cos x)' = (6 cos 2x) * (cos x) + (3 sin 2x) * (-sin x)

= 6 cos 2x cos x - 3 sin 2x sin x

4) Производная от x³ / (x² + 5)

Это тоже частное от двух функций, поэтому используем правило производной частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v².

Пусть u = x³ и v = x² + 5.

Найдем производные:

u' = (x³)' = 3x².

v' = (x² + 5)' = 2x.

Теперь подставляем в формулу:

(x³ / (x² + 5))' = ((3x²) * (x² + 5) - (x³) * (2x)) / (x² + 5)²

= (3x⁴ + 15x² - 2x⁴) / (x² + 5)²

= (x⁴ + 15x²) / (x² + 5)²

Итоговые производные:

1. -3/x² + 1/√x - eˣ
2. 12(3x - 5)³
3. 6 cos 2x cos x - 3 sin 2x sin x
4. (x⁴ + 15x²) / (x² + 5)²