2. Найдите значение выражения: \( \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \)

Решение:

Упростим выражение, вынеся общий множитель из числителя и разделив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \) и \( \sqrt{2} \) соответственно:

\( \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7 \cdot 3} - \sqrt{7 \cdot 2}}{\sqrt{3 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \)

Вынесем \( \sqrt{7} \) за скобки в числителе:

\( \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{\sqrt{14}}{2} \)

Можно представить выражение и как:

\( \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} - \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \)

Для получения числового значения, можно привести выражение к более простому виду:

\( \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{6}} \)

Если требуется вычислить приближенное значение:

\( \sqrt{21} \approx 4.58 \), \( \sqrt{14} \approx 3.74 \), \( \sqrt{6} \approx 2.45 \)

\( \frac{4.58 - 3.74}{2.45} = \frac{0.84}{2.45} \approx 0.34 \)

Однако, в учебниках чаще просят упростить выражение без вычисления приближенного значения.

\( \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} - \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{21}}{ \sqrt{6}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} \)

\( \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{6}} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \) (упрощенный вид: \( \frac{\sqrt{42}}{6} - \frac{\sqrt{84}}{6} = \frac{\sqrt{42}-2\sqrt{21}}{6} \) )