2. Найдите значение выражения: 1) 32⁻³ : 16⁻³; 2) (-125)⁻⁵ · (-5)⁴; 3) 14⁶ · 2⁻⁸ / (28⁻³ · 7¹¹); 4) (0,5)⁻⁵ · 4⁻⁶ / 8⁻²

Решение:

Используем свойства степеней: \(a^m · a^n = a^{m+n}\), \(a^m : a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \((ab)^n = a^n b^n\), \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).

1. \( 32^{-3} : 16^{-3} = (32:16)^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
2. \( (-125)^{-5} · (-5)^4 = (-5^3)^{-5} · (-5)^4 = (-5)^{3 · (-5)} · (-5)^4 = (-5)^{-15} · (-5)^4 = (-5)^{-15+4} = (-5)^{-11} = \frac{1}{(-5)^{11}} = -\frac{1}{5^{11}} \)
3. \( \frac{14^6 · 2^{-8}}{28^{-3} · 7^{11}} = \frac{(2 · 7)^6 · 2^{-8}}{(2^2 · 7)^{-3} · 7^{11}} = \frac{2^6 · 7^6 · 2^{-8}}{2^{2 · (-3)} · 7^{-3} · 7^{11}} = \frac{2^{6+(-8)} · 7^6}{2^{-6} · 7^{-3+11}} = \frac{2^{-2} · 7^6}{2^{-6} · 7^8} = 2^{-2 - (-6)} · 7^{6-8} = 2^{-2+6} · 7^{-2} = 2^4 · 7^{-2} = 16 · \frac{1}{7^2} = \frac{16}{49} \)
4. \( \frac{(0.5)^{-5} · 4^{-6}}{8^{-2}} = \frac{(\frac{1}{2})^{-5} · (2^2)^{-6}}{(2^3)^{-2}} = \frac{(2^{-1})^{-5} · 2^{2 · (-6)}}{2^{3 · (-2)}} = \frac{2^{5} · 2^{-12}}{2^{-6}} = \frac{2^{5+(-12)}}{2^{-6}} = \frac{2^{-7}}{2^{-6}} = 2^{-7 - (-6)} = 2^{-7+6} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)

Ответ: 1) 1⁄⁸; 2) - 1⁄5^{11}; 3) 16⁄‴‹; 4) 1⁄2.