2. Найдите все такие значения параметра, при каждом из которых уравнение \( (4x-x^2)^2-32/(4x-x^2)=a^2-14a \) имеет хотя бы одно решение.

Решение:

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 4x-x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - \frac{32}{y} = a^2 - 14a \]

2. Умножим обе части на \( y \) (при условии \( y
   eq 0 \)):

\[ y^3 - 32 = (a^2 - 14a)y \]

\[ y^3 - (a^2 - 14a)y - 32 = 0 \]

3. Рассмотрим функцию \( f(y) = y^3 - (a^2 - 14a)y - 32 \). Нам нужно найти значения \( a \), при которых это уравнение имеет хотя бы один корень \( y \), такой что \( y = 4x-x^2 \) имеет решение.
4. Найдем область значений функции \( g(x) = 4x-x^2 \). Это парабола с вершиной в точке \( x = -b/(2a) = -4/(2*(-1)) = 2 \). Значение в вершине: \( g(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \). Ветви параболы направлены вниз, поэтому область значений \( y \in (-\infty, 4] \).
5. Также, \( y
   eq 0 \), следовательно, \( y \in (-\infty, 0) \cup (0, 4] \).
6. Проанализируем уравнение \( y^3 - (a^2 - 14a)y - 32 = 0 \). Заметим, что если \( y=4 \), то \( 4^3 - (a^2-14a) · 4 - 32 = 0 \).

\[ 64 - 4(a^2-14a) - 32 = 0 \]

\[ 32 - 4(a^2-14a) = 0 \]

\[ 8 - (a^2-14a) = 0 \]

\[ a^2 - 14a - 8 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение относительно \( a \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-14)^2 - 4(1)(-8) = 196 + 32 = 228 \]

\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{228}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{57}}{2} = 7 \pm \sqrt{57} \]

8. Таким образом, при \( a = 7 + \sqrt{57} \) и \( a = 7 - \sqrt{57} \) уравнение имеет решение \( y=4 \), что соответствует одному решению \( x \).
9. Рассмотрим другие возможные корни \( y \) для уравнения \( y^3 - (a^2 - 14a)y - 32 = 0 \).
10. Пусть \( k = a^2-14a \). Уравнение \( y^3 - ky - 32 = 0 \).
11. Исследуем функцию \( h(y) = y^3 - ky \). \( h'(y) = 3y^2 - k \).
12. Если \( k \le 0 \) (т.е. \( a^2-14a \le 0 \) \( \implies 0 \le a \le 14 \)), то \( h'(y) \ge 0 \), функция \( h(y) \) возрастает. Тогда \( y^3 - ky - 32 = 0 \) имеет один корень.
13. Если \( k > 0 \) (т.е. \( a < 0 \) или \( a > 14 \)), то есть два экстремума. \( y = \pm \sqrt{k/3} \).
14. Чтобы уравнение \( y^3 - ky - 32 = 0 \) имело хотя бы один корень в области \( (-\infty, 0) \cup (0, 4] \), нужно рассмотреть поведение функции.
15. Заметим, что \( y=4 \) является корнем, когда \( a^2-14a-8=0 \).
16. Также, если \( y=-2 \), то \( (-2)^3 - k(-2) - 32 = 0 \) \( \implies -8 + 2k - 32 = 0 \) \( \implies 2k = 40 \) \( \implies k = 20 \).

\[ a^2 - 14a = 20 \]

\[ a^2 - 14a - 20 = 0 \]

\[ D = (-14)^2 - 4(1)(-20) = 196 + 80 = 276 \]

\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{276}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{69}}{2} = 7 \pm \sqrt{69} \]

17. При \( a = 7 + \sqrt{69} \) и \( a = 7 - \sqrt{69} \) уравнение имеет решение \( y=-2 \), что также соответствует одному решению \( x \).
18. Объединяя полученные значения \( a \), получаем: \( a \in [7 - \sqrt{57}, 7 + \sqrt{57}] \cup [7 - \sqrt{69}, 7 + \sqrt{69}] \).
19. Так как \( √{57} < √{69} \), то \( 7 - √{69} < 7 - √{57} \) и \( 7 + √{57} < 7 + √{69} \).
20. Следовательно, объединенный интервал: \( [7 - \sqrt{69}, 7 + \sqrt{69}] \).

Ответ: \( a \in [7 - \sqrt{69}, 7 + \sqrt{69}] \)