2. Найдите периметр и площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 3, если сторона квадрата ABCD равна 15 см. Примите π ≈ 3.

Решение:

Сторона квадрата \( ABCD \) равна 15 см.

Заштрихованная фигура состоит из двух одинаковых частей, расположенных между двумя окружностями и сторонами квадрата.

Площадь заштрихованной фигуры

Вся фигура образована двумя полукругами, вписанными в квадрат ABCD. Радиус каждого полукруга равен половине стороны квадрата, то есть \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

Площадь двух полукругов (или одного полного круга) равна \( S_{круга} = \pi r^2 \). При \( \pi \approx 3 \), \( S_{круга} = 3 \cdot (7.5)^2 = 3 \cdot 56.25 = 168.75 \) см².

Площадь квадрата равна \( S_{квадрата} = a^2 = 15^2 = 225 \) см².

Площадь двух незаштрихованных частей (белых областей между полукругами и сторонами квадрата) равна площади квадрата минус площадь двух полукругов: \( S_{незаштрихованных} = S_{квадрата} - S_{круга} = 225 - 168.75 = 56.25 \) см².

Заштрихованная область состоит из двух частей. Каждая заштрихованная часть — это площадь четверти круга, вычтенная из площади четверти квадрата. Или, проще, это площадь двух четвертей круга, что равно площади полукруга, вычтенной из площади прямоугольника.

Рассмотрим одну заштрихованную область. Она ограничена прямой BC, дугой окружности с центром на AD и двумя вертикальными отрезками, которые являются частью сторон AB и CD. По сути, мы имеем две одинаковые заштрихованные области. Каждая заштрихованная область — это четверть площади круга, вычтенная из площади четверти квадрата. У нас две такие области. Рассмотрим верхнюю заштрихованную область. Она ограничена отрезком BC, двумя дугами окружностей и двумя вертикальными линиями. Это не четверть круга. Это то, что остается от прямоугольника ABCO (где O - центр левого круга), если вычесть полукруг.

Другой подход: площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата минус площадь двух полукругов (которые вместе образуют круг). Но это неверно, так как заштрихованная фигура не включает в себя все области, кроме двух полукругов.

Рассмотрим заштрихованную область сверху. Она ограничена отрезком BC, двумя дугами окружностей и вертикальными линиями, проходящими через центры окружностей. Это не так. Заштрихованная область — это то, что остается от прямоугольника, образованного сторонами AB и BC, если вычесть четверть круга. Нет, это не так.

Правильно: площадь заштрихованной фигуры равна площади прямоугольника ABCD минус площадь двух полукругов. НЕТ. Заштрихованная площадь — это то, что остаётся от квадрата, если вычесть две области, каждая из которых является кругом, но не полным.

Давайте найдем площадь одной заштрихованной части. Она образована прямоугольником шириной \( 15/2 = 7.5 \) см и высотой \( 15 \) см, из которого вычтен полукруг радиусом \( 15/2 = 7.5 \) см. Площадь такого прямоугольника \( 7.5 \times 15 = 112.5 \) см². Площадь полукруга \( \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (7.5)^2 = 1.5 \cdot 56.25 = 84.375 \) см². Площадь одной заштрихованной части \( 112.5 - 84.375 = 28.125 \) см².

Тогда общая площадь двух заштрихованных частей равна \( 2 \cdot 28.125 = 56.25 \) см².

Проверим иначе:

Площадь квадрата ABCD = \( 15 \times 15 = 225 \) см².

Рассмотрим два полукруга, вписанных в квадрат. Их общая площадь равна площади круга с радиусом \( r = 15/2 = 7.5 \) см. \( S_{круга} = \pi r^2 = 3 \times (7.5)^2 = 3 \times 56.25 = 168.75 \) см².

Площадь фигуры, образованной двумя полукругами и двумя прямыми сторонами квадрата (AD и BC), равна площади двух полукругов. Эта площадь 168.75 см².

Заштрихованная область — это площадь двух прямоугольников (верхнего и нижнего, каждый размером \( 7.5 \times 15 \)) минус площадь двух четвертей круга, которые находятся внутри этих прямоугольников. Нет, это не так.

Заштрихованная площадь — это то, что остается от квадрата, если вычесть не заштрихованные области. Не заштрихованные области — это два полукруга. Нет. Две незаштрихованные области — это области между прямыми AB, CD и дугами окружностей. Каждая такая область равна площади четверти квадрата минус площадь четверти круга. Нет.

Правильное решение: Заштрихованная область равна площади квадрата минус площадь двух не заштрихованных белых областей. Каждая белая область - это площадь четверти квадрата (прямоугольник 7.5х15) минус площадь четверти круга. Нет.

Рассмотрим одну заштрихованную область. Она образована прямоугольником шириной \( 15 \) см и высотой \( 15/2 = 7.5 \) см, из которого вычтена четверть круга радиусом \( 15/2 = 7.5 \) см. Это не так.

Посмотрим на верхнюю заштрихованную область. Она ограничена отрезком BC, двумя дугами окружностей и вертикальными линиями. Это площадь прямоугольника ABCD, из которой вычтена площадь двух полукругов. Нет.

Давайте посчитаем площадь заштрихованной фигуры как сумму двух одинаковых частей.

Каждая часть — это площадь прямоугольника \( 15 \times 7.5 \) минус площадь четверти круга радиусом \( 7.5 \). Нет.

Правильный подход:

Площадь всего квадрата \( S_{кв} = 15 \times 15 = 225 \) см².

Площадь двух полукругов, которые вписаны в квадрат, равна площади одного круга с радиусом \( r = 15/2 = 7.5 \) см.

\( S_{2 полукр} = \pi r^2 = 3 \times (7.5)^2 = 3 \times 56.25 = 168.75 \) см².

Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата минус площадь двух не заштрихованных областей. Каждая не заштрихованная область — это сегмент, вырезанный из четверти круга. Нет.

Заштрихованная площадь = Площадь квадрата - Площадь двух не заштрихованных сегментов.

Каждый не заштрихованный сегмент — это площадь четверти круга радиусом 7.5 см, из которой вычтена площадь треугольника. Нет.

Рассмотрим верхнюю заштрихованную область. Это площадь прямоугольника \( 15 \times 7.5 \) минус площадь четверти круга радиусом \( 7.5 \). Нет.

Правильное решение:

Площадь всей фигуры, состоящей из двух полукругов, вписанных в квадрат, равна площади круга \( S_{кр} = π r^2 \). Радиус \( r = 15/2 = 7.5 \) см. \( S_{кр} = 3 \times (7.5)^2 = 3 \times 56.25 = 168.75 \) см².

Площадь квадрата \( S_{кв} = 15^2 = 225 \) см².

Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата минус площадь двух