№2. Найдите корень уравнения: 1) 2^{4-2x} = 64 2) \(\frac{1}{2}\)^{x-6} = 8^x 3) 6^{2-5x} = 0,6 \(\cdot\) 10^{2-5x}

Решение:

1. 1) 2^4-2x = 64
   Представим 64 как степень двойки: \( 64 = 2^6 \).
   Уравнение примет вид: \( 2^{4-2x} = 2^6 \).
   Приравниваем показатели степеней: \( 4 - 2x = 6 \).
   Решаем линейное уравнение: \( -2x = 6 - 4 \) → \( -2x = 2 \) → \( x = -1 \).
2. 2) \(\frac{1}{2}\)^{x-6} = 8^x
   Представим \( \frac{1}{2} \) как \( 2^{-1} \) и \( 8 \) как \( 2^3 \).
   Уравнение примет вид: \( (2^{-1})^{x-6} = (2^3)^x \).
   Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 2^{-1(x-6)} = 2^{3x} \) → \( 2^{-x+6} = 2^{3x} \).
   Приравниваем показатели степеней: \( -x + 6 = 3x \).
   Решаем линейное уравнение: \( 6 = 3x + x \) → \( 6 = 4x \) → \( x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
3. 3) 6^2-5x = 0,6 \(\cdot\) 10^{2-5x}
   Разделим обе части уравнения на \( 10^{2-5x} \) (предполагая, что \( 10^{2-5x} \neq 0 \), что верно):
   \( \frac{6^{2-5x}}{10^{2-5x}} = 0,6 \).
   Используем свойство степени \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \): \( (\frac{6}{10})^{2-5x} = 0,6 \).
   Упростим дробь: \( (\frac{3}{5})^{2-5x} = 0,6 \).
   Представим \( 0,6 \) как \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
   Уравнение примет вид: \( (\frac{3}{5})^{2-5x} = (\frac{3}{5})^1 \).
   Приравниваем показатели степеней: \( 2 - 5x = 1 \).
   Решаем линейное уравнение: \( -5x = 1 - 2 \) → \( -5x = -1 \) → \( x = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} \).

Ответ: 1) x = -1; 2) x = \(\frac{3}{2}\); 3) x = \(\frac{1}{5}\).