2. Найди стороны прямоугольника, площадь которого будет в 8 раз меньше площади данного прямоугольника. Постарайся найти не одно решение.

Решение:

Пусть дан прямоугольник со сторонами \( a \) и \( b \). Его площадь равна \( S = a \cdot b \).

Нам нужно найти стороны нового прямоугольника, площадь которого будет в 8 раз меньше площади данного. Обозначим стороны нового прямоугольника как \( a' \) и \( b' \), а его площадь как \( S' \).

Условие задачи: \( S' = \frac{S}{8} \).

Значит, \( a' \cdot b' = \frac{a \cdot b}{8} \).

Есть несколько способов найти такие стороны. Мы можем:

1. Изменить одну из сторон: Пусть \( a' = a \), тогда \( a \cdot b' = \frac{a \cdot b}{8} \). Разделим обе части на \( a \) (предполагая, что \( a \neq 0 \)), получим \( b' = \frac{b}{8} \).
2. Изменить другую сторону: Пусть \( b' = b \), тогда \( a' \cdot b = \frac{a \cdot b}{8} \). Разделим обе части на \( b \) (предполагая, что \( b \neq 0 \)), получим \( a' = \frac{a}{8} \).
3. Изменить обе стороны: Мы можем уменьшить каждую сторону в \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) раз. Тогда \( a' = \frac{a}{2\sqrt{2}} \) и \( b' = \frac{b}{2\sqrt{2}} \). В этом случае \( a' \cdot b' = \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{2\sqrt{2}} = \frac{a \cdot b}{4 \cdot 2} = \frac{a \cdot b}{8} \).
4. Изменить стороны в другом соотношении: Например, можно уменьшить одну сторону в 2 раза, а другую в 4 раза. Пусть \( a' = \frac{a}{2} \) и \( b' = \frac{b}{4} \). Тогда \( a' \cdot b' = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{4} = \frac{a \cdot b}{8} \).

Пример:

Пусть дан прямоугольник со сторонами \( a = 16 \) см и \( b = 8 \) см. Его площадь \( S = 16 \cdot 8 = 128 \) см².

Площадь нового прямоугольника \( S' = \frac{128}{8} = 16 \) см².

Варианты сторон нового прямоугольника:

• 1. \( a' = 16 \) см, \( b' = \frac{8}{8} = 1 \) см. \( 16 \cdot 1 = 16 \) см².
• 2. \( a' = \frac{16}{8} = 2 \) см, \( b' = 8 \) см. \( 2 \cdot 8 = 16 \) см².
• 3. \( a' = \frac{16}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \) см, \( b' = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) см. \( 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16 \) см².
• 4. \( a' = \frac{16}{2} = 8 \) см, \( b' = \frac{8}{4} = 2 \) см. \( 8 \cdot 2 = 16 \) см².

Ответ: Стороны нового прямоугольника могут быть, например, \( a \) и \( \frac{b}{8} \); \( \frac{a}{8} \) и \( b \); \( \frac{a}{2\sqrt{2}} \) и \( \frac{b}{2\sqrt{2}} \); \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{b}{4} \) (где \( a \) и \( b \) — стороны исходного прямоугольника).