2. Найди длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (3; 2), (3; 5), (7; 2), (7; 5).

Решение:

Даны координаты вершин прямоугольника: \( A=(3; 2) \), \( B=(3; 5) \), \( C=(7; 5) \), \( D=(7; 2) \).

Длина диагонали прямоугольника равна расстоянию между двумя противоположными вершинами. Найдем длину диагонали \( AC \) по формуле расстояния между двумя точками на плоскости: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

Используем координаты точек \( A=(3; 2) \) и \( C=(7; 5) \):

\[ AC = \sqrt{(7 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Также можно найти длину диагонали \( BD \):

\[ BD = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Длины диагоналей равны.

Ответ: 5