2. MN и NK – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O, угол MNK = 90°. Найдите радиус окружности, если ON=2 см.

Привет! Давай разберемся со второй задачей. Здесь у нас уже два отрезка касательных из одной точки.

Дано:

• Окружность с центром O.
• MN и NK – отрезки касательных.
• M и K – точки касания.
• ∠MNK = 90°.
• ON = 2 см.

Найти: радиус окружности (OM или OK).

Решение:

1. Важное свойство касательных, проведенных из одной точки: они равны. Значит, MN = NK.

2. Также, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. То есть, OM ⊥ MN и OK ⊥ NK. Отсюда следует, что ∠OMN = 90° и ∠OKN = 90°.

3. Рассмотрим четырехугольник OMNK. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.

4. У нас есть три угла: ∠MNK = 90°, ∠OMN = 90°, ∠OKN = 90°.

5. Найдем четвертый угол, ∠MON:

   \[ \angle MON = 360° - 90° - 90° - 90° \]

   \[ \angle MON = 90° \]

6. Получается, что четырехугольник OMNK – это прямоугольник. А поскольку смежные стороны OM и ON (или OK) не обязательно равны, но MN=NK, то это частный случай – квадрат. В квадрате все стороны равны.

7. Если OMNK – квадрат, то все его стороны равны: OM = MN = NK = OK.

8. Нам дана длина отрезка ON = 2 см. ON – это диагональ квадрата OMNK.

9. В квадрате диагонали равны и являются гипотенузами для прямоугольных треугольников, на которые они делят квадрат. Например, △OMN – прямоугольный (угол M = 90°), а ON – его гипотенуза.

10. По теореме Пифагора для △OMN:

    \[ OM^2 + MN^2 = ON^2 \]

11. Так как OM = MN (стороны квадрата), обозначим их как 'r' (радиус). Тогда:

    \[ r^2 + r^2 = ON^2 \]

    \[ 2r^2 = (2 ext{ см})^2 \]

    \[ 2r^2 = 4 \text{ см}^2 \]

    \[ r^2 = \frac{4}{2} \text{ см}^2 \]

    \[ r^2 = 2 \text{ см}^2 \]

12. Теперь найдем 'r', взяв квадратный корень:

    \[ r = \sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ:

Радиус окружности равен √2 см.