2. Маленький шарик, подвешенный к потолку на лёгкой нерастяжимой нити, совершает колебания в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение нити от вертикали составляет угол α = 60°. Сделайте рисунок с указанием сил, приложенных к шарику в тот момент, когда шарик движется влево-вверх, а нить образует угол β = 30° с вертикалью (см. рис.). Покажите на этом рисунке, куда направлено в этот момент ускорение шарика (по нити, перпендикулярно нити, внутрь траектории, наружу от траектории). Ответ обоснуйте. Сопротивление воздуха не учитывать.

На шарик действуют сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Скорость найдём из закона сохранения механической энергии. При максимальном отклонении α = 60° скорость равна нулю, поэтому для положения β = 30°:

\[\frac{mv^2}{2}=mgL(\cos\beta-\cos\alpha),\qquad \frac{v^2}{L}=2g(\cos30^\circ-\cos60^\circ)=(\sqrt3-1)g.\]

Ускорение имеет составляющую по нити к точке подвеса, равную \(v^2/L=(\sqrt3-1)g\), и тангенциальную составляющую к положению равновесия, равную \(g\sin30^\circ=g/2\). Поскольку шарик движется влево-вверх, тангенциальное ускорение направлено противоположно скорости — вправо-вниз, к положению равновесия.

Сложение этих составляющих даёт ускорение, направленное вправо-вверх. Оно не направлено точно ни по нити, ни перпендикулярно ей; у него есть составляющая внутрь траектории, поэтому из предложенных вариантов верно: внутрь траектории.