2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠OBC = 35°. Найдите угол ВАС. (Puc.2)

Решение:

Так как АВ и АС — касательные к окружности, то радиусы ОВ и ОС, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OBA = \angle OCA = 90° \).

Рассмотрим треугольник \( OBC \). \( OB = OC \) как радиусы окружности. Значит, \( \triangle OBC \) — равнобедренный.

По условию \( \angle OBC = 35° \). Так как \( \triangle OBC \) равнобедренный с \( OB = OC \), то \( \angle OCB = \angle OBC = 35° \).

Сумма углов в \( \triangle OBC \): \( \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180° \).

\( \angle BOC + 35° + 35° = 180° \)

\( \angle BOC + 70° = 180° \)

\( \angle BOC = 180° - 70° = 110° \).

Рассмотрим четырёхугольник \( ABOC \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360° \).

\( \angle BAC + \angle OBA + \angle BOC + \angle OCA = 360° \)

\( \angle BAC + 90° + 110° + 90° = 360° \)

\( \angle BAC + 290° = 360° \)

\( \angle BAC = 360° - 290° = 70° \).

Ответ: 70°.